|
(ахх2 + ауу2 + azz2)1/2. Если ax= ay = az = 1, это соответствует плоскому пространству, так что расстояния и длины будут измеряться обычным способом. Например, длина вектора, исходящего из начала координат в точку х, у, z , будет равна (х2 + у2 + z2)1/2. В более сложных метриках могут появляться перекрестные члены типа dxdy. В этом случае метрика должна описываться тензором с двумя индексами, которые определяют коэффициенты aij каждого слагаемого метрики вида dxi dxj . Позднее, при обсуждении теории относительности, у метрики появится слагаемое dt2, а также возможные слагаемые вида dt dxi. 3. Гиперсфера определяется уравнением x12 + x22 +… + xn2 = r2 Здесь xi обозначает i -ю координату (местоположение в i- м измерении), а r есть радиус гиперсферы. Сечение гиперсферы, когда она пересекает фиксированное положение в п- м измерении xn = d, описывается уравнением x12 + x22 +… + xn — 12 = r2 - d2 Это уравнение гиперсферы, размерность которой на единицу меньше, а радиус равен (г2 — d2)1/2 . Так, например, когда п = 3 и сфера пересекает Флатландию, ее жители флатландцы будут видеть окружности. (Они будут видеть диски, если будут смотреть на окружности и на то, что внутри этих окружностей, что математически описывается неравенством.) 4. Многообразия Калаби — Яу не являются единственными скрытыми многообразиями в теории струн. Сейчас мы знаем, что и другие многообразия, например, многообразия, называемые (G 2-голономными, могут приводить к приемлемым моделям. 5. В теории струн мы также иногда используем слово «брана» для обозначения заполняющих пространство бран, имеющих то же число измерений, что и многомерное пространство. Однако здесь мы сосредоточимся только на бранах, имеющих меньшее число измерений, чем полное многомерное пространство, так что я ограничусь использованием термина так, как описано в книге. 6. Брана, простирающаяся вдоль измерений х1….,xj, описывается п — j уравнениями xj + 1 = cj + 1, xj + 2 = cj + 2…, xn = cn где xi — координаты, п — число измерений пространства, а сi — фиксированные константы, описывающие положение браны. Более сложные браны, которые искривлены в данной системе координат, описываются более сложными уравнениями, описывающими поверхность. 7. В форме уравнения закон Ньютона утверждает, что сила тяготения равна Gm1m2/r2 где G — ньютоновская постоянная, m1 и m2 — две массы, которые притягиваются друг к другу, а r — расстояние между ними. — 354 —
|