|
Гёделевский номер этого диагонального члена отсутствует в списке доказуемых утверждений. «Диагональным членом» является предложение относительно собственного номера предложения, например, предложение p2 относительно числа 2. Поскольку это утверждение является предложением, оно должно уже содержаться где-то в первоначальном исчерпывающем списке предложений. Для простоты давайте предположим, что оно оказывается Предложением 2. Коль это так, рассмотрим соответствующий диагональный гёделевский номер, который в этом случае равен 30. Этот гёделевский номер соответствует Предложению 2 относительно числа 2, которое гласит: Не существует доказательства Предложения 2 относительно числа 2. Теперь мы подходим к противоречию. Предположим, что мы узнали, обратись к полному списку доказуемых утверждений, что это предложение действительно верно (а значит, его гёделевский номер должен быть в списке доказуемых утверждений), то есть можно доказать, что доказательства Предложения 2 относительно числа 2 не существует. Тогда у нас получается противоречие, поскольку, если не существует доказательства Предложения 2 относительно числа 2, то его номера не должно быть в списке доказуемых утверждений! Если мы вместо этого предположим, что предложение о том, что не существует доказательства Предложения 2 относительно числа 2, является ложным, тогда его нет в списке доказуемых утверждений, а тогда это предложение истинно! Мы достигли точки, в которой нам приходится заключить, что система аксиом, которой мы пользуемся, недостаточна для того, чтобы принять решение о том, что верно: это предложение или его отрицание. Математика неполна . Это означает, что существует бесконечное число математических утверждений, которые, возможно, верны, но не могут быть выведены из данного множества аксиом. В этом состоит основание для одного из моих вводных замечаний. Удивительно не только то, что мы можем считать (поскольку натуральные числа столь редки во вселенной всех чисел), удивительно, что мы можем делать с числами что-то арифметическое (потому что формально доказуемые выражения являются тоже очень редкими). Заключение Гёделя не стало судным днем математики. Во-первых, могут существовать неалгоритмические методы установления истинности утверждений, так же как может быть невозможно формально доказать, что определенная позиция в шахматах не приводит к мату, но ее можно увидеть с более объемлющей точки зрения. То есть может существовать метаматематическое доказательство утверждения, которое не может быть доказано внутри формальной системы. То, что человеческий ум способен порождать такие неформальные, но вполне надежные доказательства, является окном в природу сознания, ибо это показывает, что понимание и рефлексия не нуждаются в том, чтобы быть алгоритмическими. — 285 —
|