|
Когда мы думаем о пространствах, вложенных в пространства более высокой размерности, мы встаем на точку зрения надменного сверхсущества, которое может судить на глазок, имеется ли тут кривизна. Предположим, однако, что мы муравьи, и наше воображение ограничено реальным пространством, в котором мы обитаем: может ли муравей узнать, искривлена ли Земля, можем ли мы определить, искривлено ли наше пространство-время? Ответ уже следует из текущего обсуждения, поскольку путешествия, которые вы и я предприняли, и вопрос о том, столкнемся ли мы с вами нос к носу или нет, можно представить себе имеющими место на поверхности, независимо от того, считаем мы ее во что-то вложенной или нет. Таким образом, если вы и я отправляемся по двум параллельным с виду путям и сталкиваемся носами, то мы знаем, что пространство, в котором мы пребываем, имеет положительную кривизну. Это заключение не зависит от того, можем ли мы вообразить наше пространство вложенным в пространство более высокой размерности или нет. Мы можем развить эту мысль дальше и научиться измерять кривизну пространства количественно. Пойдемте со мной на Северный полюс (рис. 9.15). Теперь, когда мы здесь, давайте вытянем, каждый, по одной руке, указывая ею вниз прямо на юг, на Гринвич, вдоль меридиана 0°. Свисток, и вы отправляетесь на юг и идете, пока не достигнете экватора. Продолжая указывать рукой на юг, вы идете вдоль экватора, пока не достигнете 90° восточной долготы. Из этой точки, все еще показывая рукой на юг, вы возвращаетесь на Северный полюс. Я, в свою очередь, наблюдаю, как вы появляетесь из-за горизонта. Однако, к нашему общему огромному удивлению, мы обнаруживаем, что ваша рука повернута на 90° относительно моей, несмотря на то, что вы педантично указывали ею строго на юг на протяжении всего вашего путешествия! В плоском пространстве направления, наших рук совпадали бы, поэтому мы заключаем, что реальная поверхность Земли плоской не является. Более того, мы можем описать количественную меру «кривизны» как изменение угла, на который повернута ваша рука, деленное на площадь области, ограниченной вашим маршрутом, что дает 1 / радиус2 , где радиус является радиусом Земли. Так как радиус Земли равен 6400 км, кривизна ее поверхности составляет 2,4?10?8 км?2. Это очень маленькая кривизна, указывающая на то, что нам придется делать обход очень большой площади, для того чтобы эффект стал заметным. Вот почему землемеры Хаммурапи не замечали ее: поля, которые они измеряли в Месопотамии, имели площади лишь в несколько тысяч квадратных метров, и кривизна Земли просто не могла быть видна. Кривизна футбольного мяча с радиусом 10 см равна 0,01 м?2, так что эта кривизна становится заметной на областях его поверхности, занимающих довольно небольшую площадь. Для сферы кривизна будет оставаться одинаковой, где бы мы ни начали наше путешествие и какую бы площадь мы ни обошли. Кроме того, кривизна на ней всюду положительна. Куриное яйцо также всюду имеет положительную кривизну, но ее значения меняются примерно от 0,2 см?2 на тупом конце до 0,4 см?2 на более круто искривленном остром конце. — 245 —
|