|
Рис. 9.2. Кубы различных размерностей могут быть построены с помощью движения куба предшествующей размерности в новом, перпендикулярном направлении. Здесь мы видим семейство кубов, построенных из 0-куба (точки). Отрезок (1-куб) получен протаскиванием точки в одном направлении, квадрат (2-куб) — протаскиванием отрезка в перпендикулярном направлении, обычный куб (3-куб) — протаскиванием квадрата в новом перпендикулярном направлении. Мы научились интерпретировать результаты двумерных представлений куба. Наконец, четырехмерный гиперкуб (4-куб) строится путем протаскивания 3-куба в еще одном перпендикулярном направлении. Мы, человеческие существа, еще не знаем, как интерпретировать результирующую диаграмму: я показываю два изображения, полученных вращением гиперкуба в разных направлениях. Чтобы помочь озадаченному муравью, мы можем проделать следующее. Мы осторожно разрежем 3-куб вдоль одной из граней, развернем его, положим на плоскость (рис. 9.3) и расскажем муравью, как нужно сложить грани, чтобы сформировать 3-куб. Муравей будет озадачен тем, каким образом края, которые я пометил жирной линией, могут соприкоснуться, но по крайней мере он будет иметь некоторое отдаленное представление о том, что такое 3-куб, и, возможно, научится интерпретировать наши двумерные представления 3-куба, включая забавную, в чем муравей может поклясться, картинку, на которой мы изображали его шестиугольником. Рис. 9.3. Обычный куб в трехмерном пространстве может быть построен из крестообразной формы, состоящей из шести квадратов, путем склеивания вместе соседних сторон, перегибания длинной полосы и соединения краев, помеченных жирной чертой. То, что для соединения краев с жирной чертой можно использовать измерение, перпендикулярное к странице, легко увидеть нам, а существам, живущим в двумерном мире, трудно. Мы знаем теперь достаточно, чтобы построить четырехмерный гиперкуб (4-куб). В математике многое делается по аналогии. Так же как мы протаскивали 0-куб, чтобы получить 1-куб, и так далее, мы построим 4-куб, протаскивая 3-куб (обычный куб) в направлении, перпендикулярном трем первым измерениям. Теперь мы оказались озадаченными муравьями, так как мы не понимаем, что такое направление, перпендикулярное нашим трем измерениям. Все же, в точности так, как муравей, не способный постичь третье измерение, мы можем сделать умственный прыжок и, приняв мысль о том, что оно есть — так же, как муравей, — попытаться понять его по аналогии. Чтобы облегчить себе понимание двумерного образа 4-куба, показанного на рис. 9.2, мы могли бы совершить гипердействие и разрезать куб вдоль некоторой грани, а затем развернуть его в трех измерениях (рис. 9.4). Так же как 3-куб разворачивается на шесть 2-кубов, 4-куб разворачивается на восемь 3-кубов (один 3-куб спрятан в центре верхнего креста). Чтобы вообразить, как 4-куб строится из 3-кубов, которые составляют его поверхность, представим себе склеивание. Нам, 3-читателям, аналогам 2-муравьев, кажется невозможным понять, как, например, могут быть соединены две помеченных грани, так же как у 2-муравья есть похожая проблема с тремя измерениями. У 4-читателя никаких трудностей тут нет. — 226 —
|