|
Конечно, существуют и более строгие методы определения кривизны участка поверхности, не основанные на субъективных ощущениях привязанной на нем собаки. К примеру, если цепь имеет длину r и собака движется вокруг столба так, что ее цепь все время натянута, то в случае плоского пространства (плоской Земли) длина описываемой собакой окружности будет равна точно 2?r . На поверхности сферы, обладающей положительной кривизной, длина окружности будет несколько меньше, чем 2?r , из-за того что сферическая поверхность как бы «наклоняется вниз» при движении в любом из возможных направлений; в том же случае, когда столб находится на горном перевале или в седловой точке, обладающей отрицательной кривизной, имеющей наклон вниз в одних направлениях и наклон вверх в других, длина окружности будет несколько больше, чем 2?r . Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы определить кривизну каждого конкретного участка, измерив расстояния, проходимые по кругу каждой из собак, — и затем свести эти результаты воедино. Именно этим и занимается дифференциальная геометрия. Кривизна в дифференциальной геометрии определяется локально, то есть в отдельных точках, однако полученная таким образом информация применяется для того, чтобы сделать выводы о пространстве в целом. «Кривизна управляет топологией» — наш основной девиз. А нашим основным инструментом являются дифференциальные уравнения. Геометрический анализ — сравнительно новая область математики, к обсуждению которой мы сейчас приступим, — развивает эту идею дальше. Следует отметить, что общий подход, предусматривающий использование дифференциальных уравнений в геометрии, развивался в течение нескольких столетий, зародившись практически одновременно с дифференциальным исчислением. Одним из первых исследователей в этой области стал великий швейцарский математик XVIII столетия Леонард Эйлер. Помимо всего прочего, он первым применил дифференциальные уравнения в частных производных для систематического исследования трехмерных поверхностей. Через два с лишним столетия после Эйлера мы продолжаем идти по его стопам. По сути, Эйлер был одним из первых, кто обратил внимание на нелинейные уравнения, лежащие сегодня в основе геометрического анализа. Нелинейные уравнения, как правило, весьма сложны для решения, отчасти потому, что описываемые ими модели носят более запутанный характер. Так, нелинейные системы по своей природе менее предсказуемы, чем линейные, — хорошим примером здесь может служить погода — даже небольшие изменения в начальных условиях могут привести к совершенно другим результатам. Возможно, наиболее известной формулировкой того же утверждения является так называемый эффект бабочки в теории хаоса, парадоксальным образом предсказывающий возможность того, что взмах крыла бабочки в одной части мира может стать причиной возникновения торнадо в другой. — 46 —
|