|
Создание дифференциальной геометрии, которая продолжила свое развитие и после Гаусса, стало величайшим достижением. С помощью инструментов дифференциального исчисления геометры описывали свойства кривых и поверхностей с намного большей точностью, чем это было возможно ранее. Подобные сведения можно получить путем дифференцирования или, что эквивалентно, путем нахождения производных, показывающих, как изменяется функция в ответ на изменение аргумента. Функцию можно рассматривать как алгоритм или формулу, в которой каждому числу, поданному на вход (значению аргумента), ставится в соответствие некоторое число на выходе (значение функции). Например, в функции y = x2 значение аргумента x подается на вход, а на выходе получается значение функции y . Функция однозначна: если вы будете подставлять в нее одно и то же значение x, то всегда получите одно и то же значение y , так, в нашем примере, подставляя x = 2 , вы всегда получите y = 4 . Производная характеризует отношение приращения значения функции к заданному приращению аргумента; величина производной отражает чувствительность функции к незначительным изменениям аргумента. Производная — это не только абстрактное понятие; это реальное число, которое можно вычислить и которое сообщает нам о наклоне кривой или поверхности в данной точке. Например, в приведенном выше примере можно найти производную функции (которая в данном случае оказывается параболой) в точке x = 2 . Что произойдет со значением функции y , если немного сместиться из этой точки, например, в точку x = 2,001 ? В этом случае значение y станет равным 4,004 (с точностью до трех знаков после запятой). Производная в этой точке будет равна отношению приращения значения функции (0,004) к приращению значения аргумента (0,001), то есть 4. Именно это число и будет производной функции при x = 2 или, другими словами, наклоном кривой (параболы) в этой точке. Расчеты, конечно, могут оказаться гораздо более трудоемкими при переходе к более сложным функциям и более высоким размерностям. Но вернемся на время к нашему примеру. Мы получили производную функции y = x2 из отношения приращения y к приращению x , поскольку производная функции говорит нам о наклоне (или крутизне) в данной точке — тогда как наклон служит непосредственной мерой приращения y по отношению к приращению x . Проиллюстрируем это другим способом: рассмотрим мяч, лежащий на некоей поверхности. Если мы слегка толкнем мяч в какую-либо сторону, как это отразится на его вертикальной координате? Если поверхность более или менее плоская, то высота, на которой находится мяч, практически не изменится. Но если мяч находился на крутом склоне, изменение высоты будет более существенным. Таким образом, производные характеризуют наклон поверхности в непосредственной близости от мяча. — 30 —
|