|
Понятие сбалансированной позиции ввели в 1982 году Петер Ли и я для случая подмногообразия (или подповерхностей) на сфере, находящейся в действительном пространстве. Затем мы пошли дальше — к общему случаю подмногообразия в сложном опорном (или проективном) пространстве со множеством измерений. В те годы Жан-Пьер Бургиньон, являющийся в настоящее время директором Института высших научных исследований, начал с нами сотрудничество, которое вылилось в 1994 году в совместную статью по этой теме. Ранее на конференции по геометрии в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе я предположил, что каждое кэлерово многообразие, допускающее риччи-плоскую метрику, включая Калаби-Яу, является устойчивым, но такое понятие устойчивости сложно определить. На последующих семинарах по геометрии я продолжал подчеркивать важность работы Бургиньона-Ли-Яу, как теперь ее называют, в отношении идеи устойчивости. Наконец, несколько лет спустя мой аспирант Вей Луо из Массачусетского технологического института установил связь между устойчивостью Калаби-Яу и условием равновесия. Благодаря работе Луо я смог видоизменить свою гипотезу, придя к заключению, что если вложить Калаби-Яу в многомерное пространство, то можно всегда найти положение, в котором позиция будет равновесной. Саймон Дональдсон доказал, что эта гипотеза является верной. Его доказательство также подтвердило суть этой новой схемы аппроксимации: если вложить Калаби-Яу в высокоразмерное опорное пространство и выполнить условие равновесия, то метрика будет значительно ближе к риччи-плоской. Дональдсон доказал это, показав, что индуцированные метрики образуют последовательность в опорных пространствах увеличивающейся размерности и что эта последовательность сходится, стремясь к идеальной риччи-плоской метрике при стремлении числа измерений к бесконечности. Однако это заявление справедливо лишь постольку, поскольку верна гипотеза Калаби: когда Дональдсон продемонстрировал, что эта метрика сходится к риччи-плоской метрике, его доказательство опиралось на существование риччи-плоской метрики. Доказательство Дональдсона имело также и практические результаты, поскольку он показал, что существует лучший способ выполнения встраивания — равновесный метод. Разрешение проблемы таким способом дает средства ее решения и возможную стратегию для вычислений. В 2005 году Дональдсон применил этот метод, численно получив метрику для K3-поверхности, а также показав, что не существует фундаментальных препятствий для использования этого метода в случае увеличения числа измерений.[173] В 2008 году Майкл Дуглас с сотрудниками в своей статье, основанной на работе Дональдсона, получили численными методами метрику для семейства шестимерных многообразий Калаби-Яу — вышеупомянутой квинтики. — 193 —
|