|
Рис. 9.5. С помощью процесса дискретизации можно аппроксимировать одномерную кривую и двухмерную поверхность конечным числом точек. Такая аппроксимация, естественно, будет точнее при увеличении количества точек Если мы знаем, как измерить расстояние в более крупном пространстве (большом сыре), то мы также будем знать, как измерить размер дырки. В этом смысле вложенное пространство, или дыра, наследует метрику из «сырного» опорного пространства, в котором она находится. В 1950-е годы Джон Нэш доказал, что если поместить римановы многообразия в пространство с достаточно большим количеством измерений, то можно получить любую желаемую индуцированную метрику. Но теорема Нэша о вложении, являющаяся одной из самых великих работ этого знаменитого математика, применима к действительным многообразиям, помещенным в действительное пространство. В общем случае, комплексный вариант теоремы Нэша неверен. Но я считал, что комплексная версия этой теоремы может быть верной при определенных обстоятельствах. Например, я аргументировал, что большой класс кэлеровых многообразий может быть вложен в проективное пространство высокой размерности таким образом, что индуцированная метрика будет сколь угодно близка к исходной метрике при условии, что индуцированная метрика соответствующим образом масштабирована или «нормализована», то есть все ее векторы умножены на константу. Будучи специальным случаем кэлеровых многообразий, многообразия Калаби-Яу с риччи-плоской метрикой удовлетворяют этому топологическому условию. Это означает, что можно всегда индуцировать риччи-плоскую метрику, и ее можно всегда аппроксимировать путем вложения многообразия в опорное или проективное пространство со значительно большей размерностью. Рис. 9.6. В геометрии часто говорят о «вложении» объекта или пространства в «опорное пространство» высокой размерности. В данном случае мы вложили квадрат, то есть одномерный объект, поскольку он состоит из изогнутого несколько раз отрезка прямой, в двухмерное опорное пространство — сферу Ганг Тиан, будучи в то время моим аспирантом, доказал это в статье, вышедшей в 1990 году, которая фактически была его диссертационной работой. С тех пор к моему исходному утверждению было добавлено несколько важных уточнений, включая диссертацию еще одного моего аспиранта Вей-Донг Руана о том, что возможна более точная аппроксимация риччи-плоской метрики. Главное уточнение было посвящено способу вложения многообразия Калаби-Яу в опорное пространство. Нельзя сделать это бессистемно. Идея состоит в том, чтобы выбрать соответствующее вложение так, чтобы индуцированная метрика была наиболее близка к риччи-плоской метрике. Для этого следует поместить многообразие Калаби-Яу на возможно лучшее место, так называемую сбалансированную позицию, которая является той позицией среди всех возможных, где наследуемая метрика приближается вплотную к риччи-плоской. — 192 —
|