Механика от античности до наших дней

«Более тяжелым, — говорится во всех трех указанных сочинениях, связанных с именем Неморария, — оказывается то, что при одном и том же положении опускается по линии, менее отклоняющейся от вертикали»54.

Таким образом, «тяжесть» тем больше, чем меньше отклонение груза от вертикали. Иными словами, это величина, прямо пропорциональная проекции на вертикаль возможного при данных связях перемещения груза. Поэтому, определив соотношение между проекциями перемещений на вертикаль, можно было тем самым определить соотношение между пропорциональными им «тяжестями согласно положению».

На этом в «Элементах» основано доказательство того, что при равных грузах и разных длинах плеч рычага перевешивает груз, подвешенный к концу большего плеча: при доказательстве сравниваются проекции дуг, описываемых концами рычага, на вертикаль. Аналогичным образом показывается, что «тяжесть соответственно положению» становится тем меньше, чем больше концы рычага отходят от горизонтального положения равновесия.

В трактатах Иордана рассматриваются не только величины дуг, описываемых концами рычага, но и величины подъема и опускания по вертикали. В «Элементах» доказывается, что скорости опускания грузов и их «тяжести находятся друг к другу в одинаковом отношении, а отношение между опусканием грузов и противоположным ему движением подъема — такое же, но обратное»55. На этом основывается доказательство основного закона рычага: при неравных плечах и грузах, обратно пропорциональных их длине, «тяжести соответственно положению» будут одинаковы.

Таким образом, условие равновесия рычага сводится к равенству «тяжести соответственно положению». В «Книге о пропорции тяжестей» это формальное геометрическое доказательство закона рычага распространяется на ломаный (коленчатый) рычаг. Условие его равновесия также доказывается с помощью сравнения вертикального подъема и опускания грузов. При доказательстве автор вплотную подходит к понятию о моменте вращения.

Понятие «тяжести соответственно положению» используется и при изучении движения на наклонной плоскости. В результате разложения силы тяжести на нормальную к плоскости и параллельную получается, что если грузы, поднятые на одинаковую высоту, прямо пропорциональны длинам наклона, то скорость в конце движения по наклонной плоскости будет одна и та же.

Далеко не все положения Иордана правильны. Так, в рассуждениях о ломаном (коленчатом) рычаге Иордан сравнивает «тяжести соответственно положению» для двух уравновешивающихся грузов в предположении, что оба груза опускаются, в то время как опускание одного из них ведет к поднятию другого. Подобные ошибки устранены в комментарии анонимного ученика Иордана (XIII в.). Он рассматривает «тяжести соответственно положению» только для таких перемещений грузов, которые одновременно не нарушают связей системы. Далее следует вывод об устойчивости равновесия прямого равноплечего рычага. Автор приходит к правильному выводу при рассмотрении условий равновесия ломаного (коленчатого) неравноплечего рычага. Новой является отсутствующая у Иордана задача о равновесии двух связанных грузов на двух наклонных плоскостях.