Механика от античности до наших дней

Особое значение имели работы Эйлера и Д. Бернулли о малых колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных этой задачи записал впервые Даламбер, выразивший общее решение задачи в виде суммы двух произвольных функций, которые можно полностью определить, зная начальную форму струны и начальное распределение скоростей ее точек (1747). Эйлер немедленно развил далее метод Даламбера (метод характеристик) и показал, как графически строить форму струны в любой момент времени по начальным условиям (1748). Д. Бернулли предложил представлять колебание струны в виде суммы бесконечного числа главных синусоидальных колебании (принцип суперпозиции), т. е. выражать решение в форме тригонометрического ряда (1753).

Не касаясь долгого «спора о струне», в котором участвовали все трое названных ученых, а затем и многие другие ученые XVIII в.[32], мы заметим только, что исследование этой задачи положило начало в высшей степени плодотворной разработке приемов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными, с одной стороны, и теории тригонометрических рядов — с другой. Задача о струне обыкновенно относится к области математической физики, дисциплины, во многом пересекающейся с теоретической механикой. Д. Бернулли и Эйлер рассмотрели и другие важные задачи математической физики. Так, в статье «О колебательном движении тимпанов», напечатанной в X томе «Novi Commentarii» за 1764 г., Эйлер исследовал малые колебания и провисание идеальной гибкой мембраны прямоугольной или круговой формы. Используя идеи этой работы Эйлера, племянник Д. Бернулли Якоб II Бернулли (1759—1789), состоявший членом Петербургской академии наук в 1786—1789 гг., исследовал задачу о малых колебаниях пластинки. Математическим результатом здесь, как и в гидродинамике, являлось введение новых типов дифференциальных уравнений, новых приемов их решения, различных специальных функций и их разложений в ряды и т. д.

Наконец, Эйлеру и Д. Бернулли принадлежит решение нескольких трудных задач о малых колебаниях воздуха в трубах, которыми занимался также Лагранж171.

ТРУДЫ ДАЛАМБЕРА ПО МЕХАНИКЕ

Жан Лерон Даламбер (1717—1783) был крупным французским математиком, механиком и философом периода подготовки Великой французской революции. Незаконнорожденный сын аристократки, он был найден на паперти церкви св. Иоанна Круглого (Jean le Rond), откуда и его имя, и воспитан бедным стекольщиком Аламбером — откуда его фамилия d'Alembert.