|
Эйлер рассмотрел задачу об упругих кривых в большом приложении к «Методу нахождения кривых линий» (1744); в русском переводе оно занимает 125 страниц. Работа эта была вызвана замечанием, сделанным Д. Бернулли в письме Эйлеру от 22 октября 1742 г. Бернулли предложил применить к задаче изопериметрический метод, т. е. свести ее к задаче о минимуме некоторого интеграла. Реализуя эту идею, Эйлер по-новому вывел дифференциальное уравнение Я. Бернулли и решил его при различных граничных условиях. В другом отделе того же приложения Эйлер рассмотрел продольный изгиб колонны под действием осевой сжимающей силы и получил выражение для предельной нагрузки, превышение которой приводит к изгибу; эта формула имеется теперь во всех справочниках. Затем Эйлер переходит к изучению колебаний стержней, начиная со стержня, в естественном состоянии прямого и с жестко заделанным в вертикальном положении верхним концом. Эта задача приводится к интегрированию обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка. В заключение разобраны задачи о колебании стержней при других предположениях о закреплении их концов. Исследования Д. Бернулли по колебаниям стержней изложены главным образом в двух его статьях: «Физико-геометрические рассуждения о колебании и звучании стержней» и «Механико-геометрические исследования о многообразных звуках, различным образом издаваемых упругими стержнями, иллюстрированные и подкрепленные акустическими опытами». Обе статьи были написаны в самом начале 40-х годов, но увидели свет только в XIII томе «Commentarii» Петербургской академии наук, вышедшем в 1751 г. Д. Бернулли вывел линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка для гармонических колебаний горизонтального стержня и дал его общее решение, разобрал несколько задач с различными граничными условиями, соответствующими защемленному, опертому и свободному концам, и вывел уравнения частот колебаний. Теоретические выводы Бернулли сопоставлял с данными опытов над тонкими длинными стержнями. Во второй статье рассмотрена акустическая сторона вопроса. Д. Бернулли принадлежат и другие важные работы по колеблющимся системам. Отметим из них две тесно связанные между собой статьи: «Теоремы о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и вертикально подвешенных к цепи» и «Доказательства своих теорем о колебаниях тел, соединенных гибкой нитью и вертикально подвешенных к цепи», помещенные соответственно в VI томе «Commentarii» за 1732—1733 гг. и в VII томе за 1734—1735 гг. В них рассмотрены малые колебания дискретных систем грузов, связанных с вертикально подвешенными невесомыми гибкими нитями, а затем как предельный случай — малые колебания однородной тяжелой гибкой цепи (каната). — 143 —
|