|
Я перехожу теперь к собственной теме моей лекции, но должен буду рассматривать её довольно поспешно. Необходимо объяснить теорию типов и определение классов. Итак, прежде всего, как я полагаю, большинству из вас известно, что если беспечно обращаться с формальной логикой, вы можете очень легко впасть в противоречия. Многие из них известны в течение долгого времени, некоторые даже со времён греков, но только достаточно недавно было обнаружено, что они имеют отношение к математике, и что 86 обыкновенный математик, если он не очень осмотрителен, склонен впадать в них, когда приближается к области логики. К несчастью, математические парадоксы более трудно разъяснить, а те, которые разъяснить легко, вызывают удивление просто как загадки или хитрости. Вы можете начать с вопроса, существует или нет наибольшее кардинальное число. Каждый класс предметов, которые вы можете выбрать для упоминания, имеет некоторое кардинальное число. Последнее очень легко вытекает из определения кардинального числа как класса подобных классов, и вы склонны предполагать, что класс всех предметов, существующих в мире, имел бы столь много членов, сколько вообще разумно ожидать от класса. Обыкновенный человек предполагал бы, что вы не в состоянии получить класс больший, чем класс всех предметов, существующих в мире. С другой стороны, очень легко доказать, что если вы возьмете выборки некоторых членов класса, осуществляя эти выборки любым возможным для вас подходящим способом, число различных выборок, которые вы сможете сделать, больше чем изначальное число членов. Это легко видеть на примере с малыми числами. Предположим, у вас есть класс как раз с тремя числами: а, b, с. Первая выборка, которую вы можете сделать, - это выборка, не имеющая членов. Следующая выборка: отдельно а, отдельно b, отдельно с. Затем, bc, са, ab, abc, в общем 8 (т.е. 23) выборок. Вообще говоря, если у вас есть n членов, вы можете получить 2n выборок. Очень легко доказать, что 2n всегда больше чем n, будет ли n конечным или же нет. Так вы находите, что общее число предметов в мире не является столь большим, как число классов, которые можно получить из этих предметов. Я прошу, чтобы вы принимали эти пропозиции как доказанные, поскольку нет времени переходить к доказательствам, но все они имеются в работе Кантора*. Следовательно, вы найдёте, что общее число предметов в мире никоим образом не является самым большим числом. Наоборот, существует иерархия чисел больших, чем данное. На первый взгляд, это, по-видимому, приводит вас к противоречию. Фактически, у вас есть совершенно точное арифметическое доказательство того, что на небесах или на земле имеется предметов меньше, чем грезится нашей философии. Последнее демонстрирует то, как философия делает успехи. — 70 —
|