|
В проверке гипотез Гаусса заметную роль играл Бернхард Риман, которого можно назвать его лучшим учеником. ГИПОТЕЗА РИМАНА В 1809 году Вильгельм фон Гумбольдт (1767-1835) стал министром образования Пруссии и совершил революцию в образовательной системе. Изучение математики впервые получило большое значение в новых гимназиях и университетах, студентов воодушевляли изучать математику как таковую, а не только в качестве вспомогательной дисциплины на службе у других наук. Но эта тенденция весьма отличалась от французского подхода, в котором превалировало утилитарное знание. Одним из тех, кому удалось воспользоваться этим изменением, был Риман, на тот момент один из самых способных студентов-математиков в Германии. После окончания учебы в Люнебурге (государство Ганновер), следуя желанию своего отца-священнослужителя, он в 1846 году поступил в Гёттингенский университет, который славился преподаванием теологии. Так судьба свела Римана с уже пожилым Гауссом. Через некоторое время молодой студент убедил своего отца разрешить ему заменить изучение теологии на математику. Риман в течение двух лет учился в Берлинском университете, поскольку в Гёттингене, по его мнению, было мало интеллектуальных стимулов, помимо Гаусса. В Берлине он завязал общение с Дирихле, который предложил студенту первые задачи с простыми числами. Во время пребывания в Берлине Бернхарду удалось изучить записи Гаусса с гипотезами о простых числах. Риман вернулся в Гёттинген в 1849 году, чтобы закончить докторскую диссертацию и отдать работу на оценку своему учителю, Гауссу. Он сделал это в 1854 году, за год до смерти наставника. Когда Риман начал заниматься простыми числами, нужно было доказать еще две гипотезы Гаусса. Во-первых, что функция ?(?) может быть точно выражена Li(N) для любого N, то есть что разница между ними является бесконечно малой, таким образом, ее предел стремится к нулю. И во-вторых, что Li(N) > ?(?) для любого значения ?. Чтобы взяться за проблему, Риман ввел знаменитую дзета-функцию, которая определяется следующим образом: где z — комплексное число, отличное от 1. У этой функции есть значения, в которых она равна нулю, такие как z = -2, z = -4 и другие, известные под названием тривиальных нулей. Нетривиальные нули — это те, для которых действительная часть строго больше нуля, но строго меньше 1. Вспомним, что комплексное число всегда имеет вид а + bi где а и b — действительные числа. Итак, для нетривиальных нулей справедливо 0 < а < 1. Риман своим определением всего лишь обобщил функцию, изученную Эйлером, который обозначил ее так же: — 57 —
|