Гаусс. Теория чисел. Если бы числа могли говорить

где n! — факториал натурального числа п.

Логарифмы по основанию е называют натуральными и обозначают In.

В книге логарифмов содержалась также таблица простых чисел, так что острый ум Гаусса начал проверять, нет ли какой-то связи между этими двумя таблицами, и здесь лежат истоки его огромного вклада в теорию простых чисел. Вместо того чтобы прогнозировать точное место простого числа относительно предыдущего, Гаусс попытался понять, можно ли проверить, сколько существует простых чисел, меньших 100, или 1000, или любого другого числа. Есть ли какой-то способ узнать, сколько таких чисел между 1 и N для заданного натурального числа N? Для этого он определил функцию:

?(?) = мощность множества {?<=?, где р — простое число}.

Запись не слишком удачная, поскольку складывается впечатление, что функция каким-то образом связана с числом ?, а это не так. Сделав некоторые элементарные вычисления, можно прийти к выводу о том, что простые числа не распределяются равномерно. Например, существует 25 простых чисел, меньших 100; то есть при выборе числа от 1 до 100 у нас есть вероятность 1/4 столкнуться с простым числом. Эта вероятность уменьшается, если мы увеличиваем число ?. Но следуют ли эти вариации какой-нибудь модели, которую можно выразить математически? Гаусс воспользовался своими таблицами простых чисел, чтобы найти ответ на этот вопрос. Когда он понаблюдал за долей простых чисел, взятых во все больших промежутках, ему показалось, что они следуют некой регулярной структуре. Если мы посмотрим на результат этих наблюдений для различных степеней числа 10, эта регулярность начнет вырисовываться.

В этой таблице намного больше информации, чем было в распоряжении Гаусса, у которого не было таблиц простых чисел, доходивших до 10000000. Но обычно ему требовалось меньше данных, чем другим людям, чтобы прийти к выводам, так что будет справедливо, если мы воспользуемся этим преимуществом. Если мы посмотрим на таблицу, становится очевидным, что среднее расстояние между последовательными простыми числами увеличивается, и для значений выше 10000 увеличение стабилизируется на 2,3. То есть когда мы умножаем на 10 число N, расстояние между простыми числами увеличивается на 2,3. Именно благодаря этой связи между умножением и сложением Гаусс подумал, что логарифмы могут играть важную роль. Поскольку среднее расстояние увеличивается на 2,3 вместо 1 каждый раз, когда мы умножаем на 10, возникает мысль, что это связано с логарифмом не по основанию 10. Гаусс выяснил, что наиболее подходящим для его вычислений основанием было число е, и, следовательно, он решил воспользоваться натуральными логарифмами. А ln(10) = 2,3034, следовательно, ln( 100) = ln(10 · 10) = ln(\0) + ln( 10), и аналогично при умножении еще на 10.