|
«Ясное и однозначно понимаемое предписание о действиях» может быть дано самыми разными путями: сформулировано на естественном языке (с выбором таких слов и выражений, которые не допускают разночтений), указано математическим соотношением, определено чертежом, номограммой, таблицей, графиком; иногда достаточно просто привести пример осуществления «способа», как его сущность становится ясной. Как же построить уточнение понятия о такого рода способах? В начале 50‑х годов в работах А. А. Маркова (первые публикации которого по теории алгоритмов относятся ко второй половине 40‑х годов) получила развитие та идея, что все математические алгоритмы можно свести к повторению одной элементарной операции, выполняемой в строгом соответствии с начертанным на бумаге предписанием, которое после очень простого объяснения на естественном языке или даже демонстрации нескольких примеров становится ясным каждому человеку и всеми людьми понимается одинаково. В 1951 году в «Трудах Математического института АН СССР» (т. XXXVIII) была помещена статья А. А. Маркова «Теория алгорифмов», излагающая новую концепцию, а в 1954 году вышла его большая монография[141]. Ныне она, как и работы Чёрча и Тьюринга, является классической. Марковские алгоритмы, которым их автор дал название «нормальных алгорифмов», работают над словами в каких‑либо алфавитах, перерабатывая их в (другие) слова. Алгорифм состоит из вертикального списка команд (их называют формулами подстановок), каждая из которых имеет вид либо P ? •Q, либо Q ? P где P и Q – слова в некотором алфавите, не содержащем знаков • и ?. Рассмотрим прежде всего действие отдельной формулы подстановки. Пусть в алфавите А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, –, +, =} дано слово 12 – 11 = 1 и команда 1 ? 2. Чтобы применить эту команду к данному слову, нужно найти в слове, двигаясь слева направо, первое вхождение левой (до стрелки) части команды и заменить его на правую (после стрелки) часть команды. Ясно, что в результате этого получится слово 22–11=1. Если мы данную команду применим к этому слову, то получим: 22–21=1. Следующие применения дадут: 22–22=1, 22–22=2. Пытаясь применить команду в пятый раз, мы обнаружим, что в слове нет уже «подслова», совпадающего с левой частью команды. Команда, таким образом, перестанет срабатывать, и процесс применения данной формулы подстановки оборвется. По существу, мы рассмотрели пример нормального алгорифма–алгорифма, состоящего из единственной команды. Если бы команда была не одна, то пользование алгорифмом не стало бы сложнее: в случае, когда самая верхняя команда не срабатывает, надо переходить к следующей команде; если и она не сработает, к следующей, и т. д. После срабатывания некоторой команды происходит возврат к самой верхней команде и ее проверка на применимость к полученному только‑что слову и т. д. Если в ходе этого процесса встретится команда, содержащая после стрелки точку, процесс останавливается и слово, полученное в результате применения этой команды (называемой заключительной), объявляется результатом работы алгорифма. — 103 —
|