Паутина жизни

Страница: 1 ... 8586878889909192939495 ... 224

Траектории в абстрактных пространствах

Математический аппарат, позволивший ученым в течение трех последних десятилетий обнаружить упорядоченные паттерны в хаотических системах, основан на топологическом подходе Пуанкаре и тесно связан с развитием компьютеров. С помощью современных высокоскоростных компьютеров ученые могут решать нелинейные уравнения такими методами, которые ранее были недоступны; легко могут вычерчивать сложные траектории, которые Пуанкаре даже не пытался изобразить.

Как большинство читателей помнят со школьной скамьи, уравнение решают посредством различных манипуляций с ним, пока не получают окончательную формулу — решение. Оно и называется «аналитическим» решением уравнения. Результатом всегда является формула. Большинство нелинейных уравнений, описывающих естественные явления, слишком сложны для того, чтобы их можно было решить аналитически. Однако есть еще один способ — так называемое «численное» решение уравнения. Оно включает в себя метод проб и ошибок. Вы пробуете разнообразные комбинации чисел для переменных, пока не найдете те, которые удовлетворяют уравнению. Была разработана специальная техника и специфические приемы для эффективного решения этой задачи, но для большинства уравнений подобный процесс оказывается слишком громоздким, занимает много времени и дает очень грубые, приблизительные решения.

Ситуация изменилась с появлением нового поколения компьютеров. Теперь у нас есть программы для исключительно быстрого и точного численного решения уравнений. Применяя новые методы, мы можем решать нелинейные уравнения с любой степенью точности. Тем не менее это решения совершенно иного плана. Результатом становится не формула, а огромное множество значений переменных, удовлетворяющих уравнению, и компьютер можно запрограммировать так, чтобы он графически вычерчивал решение в виде кривой или множества кривых. Такая технология позволила ученым решить сложные нелинейные уравнения, связанные с хаотическими феноменами, и обнаружить порядок в кажущемся хаосе.

Для того чтобы обнаружить эти упорядоченные паттерны, переменные сложной системы отображаются в абстрактном математическом пространстве — так называемом фазовом пространстве. Эта хорошо известная методика была разработана в термодинамике еще в начале века15. Каждой переменной в системе ставится в соответствие одна из координат абстрактного пространства. Проиллюстрируем это очень простым примером: шариком, раскачивающимся на маятнике. Чтобы полностью описать движение маятника, требуются две переменные: угол, который может быть положительным либо отрицательным, и скорость, которая также может быть положительной или отрицательной, в зависимости от направления отклонения маятника. С помощью этих двух переменных, угла и скорости, можно полностью описать состояние движения маятника в любой момент времени.

— 90 —
Страница: 1 ... 8586878889909192939495 ... 224