Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Рис. 7.4. Интерпретация волновой функции, данная Борном. Сплошная линия является произвольной волновой функцией: заметьте, что она проходит через ноль в нескольких точках (они называются узловыми точками) и имеет области положительной и отрицательной амплитуды. Возведя волновую функцию в квадрат, мы получаем линию из точек, которая всюду неотрицательна, но равна нулю там, где равна нулю волновая функция. В соответствии с интерпретацией Борна эта кривая говорит нам о вероятности обнаружения частицы в каждой точке пространства. Мы изображаем эту интерпретацию с помощью плотности тени в наложенной горизонтальной полосе.

Волновая функция может оказаться концепцией, несколько более трудной для понимания, несмотря на интерпретацию Борна. В ряде следующих параграфов я попытаюсь дать вам представление о том, на что это похоже. Я также покажу вам, как можно решать уравнение Шредингера в уме, даже не видя его и не имея ни малейшего представления о том, что значит решать уравнение в частных производных второго порядка.

С более общей точки зрения уравнение Шредингера является уравнением для кривизны волновой функции: оно сообщает нам, где волновая функция изгибается более резко, а где более плавно. Ее кривизна является наибольшей там, где кинетическая энергия частицы велика, и наименьшей там, где кинетическая энергия частицы мала. Например, волновая функция для груза на конце маятника выглядела бы довольно похожей на функцию, показанную на рис. 7.5: груз быстрее всего движется в средней точке своего качания и медленнее всего на концах, в точках возврата, где он меняет направление движения, и мы теперь видим, что волновая функция искривляется более резко около средней точки области ее существования. Отметим также, что волновая функция имеет наибольшую амплитуду вблизи точек возврата: это соответствует знакомому поведению маятника, поскольку наиболее вероятно обнаружить его там, где он движется наиболее медленно, а это происходит в конечных точках его качания, где он меняет направление движения.

Рис. 7.5. Типичная волновая функция (слева). Это волновая функция маятника, который качается с малой начальной энергией. Квадрат волновой функции (показанный справа) говорит о вероятности того, что качающийся маятник будет обнаружен в данном положении. Мы иллюстрируем эту интерпретацию с помощью плотности тени в наложенной горизонтальной полосе.

Теперь давайте посмотрим, на что похожи другие волновые функции. Волновая функция свободной частицы очень проста. Предположим, что частица, о которой мы говорим, является шариком-бусинкой, способным скользить по длинной горизонтальной проволоке. Потенциальная энергия шарика является одной и той же, безотносительно к его позиции, поэтому мы можем подозревать, что волновая функция не будет благоволить каким-либо особым областям. Медленная частица имеет низкую кинетическую энергию, поэтому ее волновая функция имеет лишь небольшую кривизну (рис. 7.6); другими словами, волновая функция медленно двигающейся частицы является однородной волной с большой длиной волны, в точности, как говорит нам соотношение де Бройля. Быстрая частица — с большой кинетической энергией — имеет волновую функцию с большой кривизной, так что она извивается вверх и вниз много раз на коротком интервале, и поэтому является однородной волной с очень короткой длиной волны. Обе эти волны просто являются тем, что предсказывает соотношение де Бройля.