|
Теперь представим себе, что мы решили измерить периметр острова Коха, пользуясь линейкой определенной длины. При этом мы, конечно, будем заменять сложную изрезанную береговую линию ломаной со звеньями, не меньшими, чем наша линейка, как это всегда делают географы. Измеренный периметр будет зависеть от длины линейки. Это кажется совершенно неожиданным. Но действительно, чем меньше длина линейки, тем больше измеренная длина побережья. Простейшая процедура измерения длины оказывается совсем не так проста, как кажется вначале. Остров Коха обладает еще одной забавной особенностью. Допустим, что мы фотографируем этот остров в океане из космоса. Мы можем фотографировать с любым увеличением, но часть побережья будет тем меньше, чем больше увеличение. И мелкие детали в крупном масштабе, естественно, будут теряться. Типичная картина, которую мы увидим, показана на рис.6. В крупном масштабе видим большой зубец и несколько маленьких. Увеличим маленький зубчик. То есть, по существу, увеличим маленький прямоугольничек до размеров первоначального. Опять выделим маленький прямоугольник, опять увеличим и опять увидим то же самое ... И так до бесконечности. Это свойство выглядеть в любом, сколь угодно мелком масштабе примерно одинаково сейчас называется масштабной инвариантностью, а множества, которые им обладают, --- фракталями. Можно спросить, как же характеризовать фракталы, если, как в сказке про Алису, размеры становятся какими-то зыбкими, ненадежными и начинают зависеть от размеров линейки? Рис. 6. Фракталы обладают масштабной инвариантностью --- при увеличении мы вновь и вновь видим одну и ту же картину. Побережье острова Коха в разных масштабах, на каждом следующем рисунке левый прямоугольник показан в увеличенном виде. На это математики могут ответить просто и остроумно:"Важна не сама длина, а то, как она зависит от размеров линейки, т.е. важно некое число, называемое фрактальной размерностью". Для отрезка --- 1, для квадрата --- 2, для куба --- 3. Для фракталов --- дробное число. Отсюда и само название "фрактали", происходящее от английского "fractal" --- дробный, неполный, частичный. Например, для острова Коха оно лежит между 1 и 2. Такое значение как будто говорит, что это уже не обычная кривая, но еще не плоскость. Мы надеемся, после чтения всего написанного наш читатель не утратил способности здраво рассуждать. А для того, чтобы эту способность обострить, пусть он представит, что авторы этих строк просят скромную, а может быть, и не очень скромную сумму, например, на исследования фрактальной геометрии. Наверное, сначала возникнет настроение, точно выраженное словами одного грибоедовского героя:"Ну нет, ученостью меня не обморочишь", а потом и первое конкретное возражение:"Если все так просто, как здесь написано, то неужели об этом раньше не знали?". — 32 —
|