|
Даже если задача, над которой вы бьетесь, относится только к двух- или трехмерному случаю, возможно, ключом к решению окажется рассмотрение задачи в других размерностях. Вернемся к нашему примеру с мухой, летающей в трехмерном пространстве и имеющей три возможных направления движения, или три степени свободы. Теперь представим себе еще одну муху, которая свободно перемещается в том же пространстве; для нее, как и для первой мухи, тоже существуют ровно три степени свободы, но система в целом имеет уже не три, а шесть измерений — шесть независимых направлений для перемещения. Если количество мух, беспорядочно кружащихся в пространстве и движущихся независимо друг от друга, станет еще больше, то соответственно возрастут и сложность системы, и ее размерность. Одним из преимуществ перехода к системам с более высокой размерностью является возможность предугадывать закономерности, которые невозможно было бы увидеть в более простой модели. В следующей главе, например, мы обсудим тот факт, что на сферической планете, полностью покрытой огромным океаном, вся вода не может одновременно течь в одном направлении, например с запада на восток, в каждой точке. В таком океане будут существовать особые точки, в которых вода вообще не будет двигаться. И хотя это правило применимо к двухмерной поверхности, оно может быть получено только путем исследования системы с большим числом измерений, в которой рассматриваются все возможные конфигурации, а именно все возможные перемещения малых порций воды по поверхности планеты. По этой причине мы постоянно переходим к более высоким размерностям, чтобы увидеть, к чему это может привести и что мы можем узнать. Несомненно, введение дополнительных измерений приводит к усложнению системы. В топологии, где объекты классифицируются в терминах формы в наиболее общем смысле этого слова, имеется два вида одномерных пространств: линия (кривая с двумя концами) и окружность (замкнутая кривая). Других просто не существует. Вы справедливо заметите, что линия может быть волнистой, а замкнутая кривая может иметь вытянутую форму, но эти вопросы относятся к области геометрии, а не топологии. Разница между геометрией и топологией столь же велика, как разница между рассматриванием земной поверхности через увеличительное стекло и рассматриванием Земли с борта космического корабля. В этом случае следует задать себе вопрос: хотите ли вы разглядеть каждую мельчайшую деталь — каждый горный хребет, каждую неровность и трещину на поверхности или вас удовлетворит более общая картина («огромный шар»)? Тогда как геометры чаще занимаются определением точной формы и кривизны рассматриваемого объекта, топологов интересует только его наиболее общая форма. Иными словами, топология является дисциплиной, рассматривающей объект как некую целостность, а этот подход демонстрирует разительный контраст с другими областями математики, в которых сложные объекты исследуются путем разбиения их на меньшие и более простые. — 13 —
|