Механика от античности до наших дней

Аналогичный метод решения плоской задачи теории упругости был разработан Г.В. Колосовым (1867—1936). В 1909 г. Колосов опубликовал весьма важную работу «Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости», где им были установлены формулы, выражающие компоненты тензора напряжений и вектора смещения через две функции комплексного переменного, аналитические в области, занимаемой упругой средой. В 1916 г. метод Колосова был применен к тепловым напряжениям в плоской задаче теории упругости Н.И. Мусхелишвили. Деятельность Мусхелишвили, как и некоторых других названных здесь ученых, развернулась во всей широте уже после Октябрьской революции.

ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Вкратце остановимся на проблеме фигур равновесия вращающейся жидкости, в разработку которой основной вклад внес А.М. Ляпунов.

Ньютон показал, что под влиянием центробежных сил и взаимного притяжения своих частиц однородная жидкость при малой угловой скорости принимает форму сжатого эллипсоида вращения. Вопрос о форме, принимаемой равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси жидкой массой, все частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютона, приобрел весьма важное значение при исследовании проблем космогонии.

В XVIII—XIX вв. при решении этой проблемы исходили из гипотезы о том, что на некоторой стадии развития небесные тела были жидкими. А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения.

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы.

Ляпунов поставил вопрос в общей форме и, основываясь на положении Лагранжа о минимуме потенциала, дал строгое решение задачи.

В магистерской диссертации «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» (1884) Ляпунов впервые дал точное определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы, не может быть перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее Ляпунов установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым величины.