Физики продолжают шутить

О существе математических доказательств

Дж. Коэн [100]

Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чём говорим и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. Следовательно, и остальные учёные в большинстве своём не знают, о чём говорят и истина ли то, что они говорят.

Таким образом, одна из главных функций математического доказательства — создание надёжной основы для проникновения в суть вещей.

Аристотель относится к числу первых философов, занявшихся изучением математических доказательств. Он изобрёл силлогизм — приспособление, которое в силу своей абсолютной бесполезности привлекало внимание бесчисленного множества логиков и философов. Силлогизм состоит из первой посылки, второй посылки и заключения. Логики только и делают, что приходят к заключениям. Просто чудо, что они до сих пор не обошли всё кругом и не пришли туда, откуда вышли.

В первой посылке заключается истина, относящаяся к целому классу вещей, например: «Не все посылки верны». Во второй посылке утверждается, что интересующая нас вещь принадлежит к этому классу, например: «Последние четыре слова предыдущего предложения являются посылкой». Таким образом, мы приходим к заключению: «Не всегда верно, что не все посылки верны». Такова всеобъемлющая полнота, с которой логика обобщает явления повседневной жизни.

Опираясь на математические доказательства, учёные сумели соединить дотоле разрозненные области, термодинамику и технику связи, в новую дисциплину — теорию информации. «Информация», научным образом определённая, пропорциональна удивлению: чем удивительнее сообщение, тем больше информации оно содержит. Если, подняв телефонную трубку, человек услышит «алло», это его не очень удивит; значительно больше будет информация, если его вместо «алло» внезапно ударит током.

Колоссальные новые возможности открылись перед математическими доказательствами с развитием теории множеств в конце прошлого столетия и начале нынешнего. Автор сам недавно открыл одну теорему в теории множеств, которая заслуживает того, чтобы её здесь привести.

Теорема. Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.

Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путём вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.