|
Читатель не должен думать, что если поверхность сферы имеет положительную кривизну, то изнутри эта поверхность будет иметь отрицательную кривизну. Кривизна сферической поверхности положительна независимо от того, с какой стороны на нее смотреть — снаружи или изнутри. Отрицательная кривизна поверхности седла вызвана тем, что в любой своей точке эта поверхность искривлена по-разному. Она вогнута, если вы проводите по ней рукой от задней части к передней, и выпукла, если вы ведете руку от одного края к другому. Одна кривизна выражается положительным числом, другпя — отрицательным. Чтобы получить кривизну этой поверхности в данной точке, эти два числа надо перемножить. Если во всех точках это число отрицательно, как должно быть, когда поверхность в любой точке искривляется по-разному, то говорят, что эта поверхность имеет отрицательную кривизну. Поверхность, окружающая дырку в торе (бублике), — другой известный пример поверхности отрицательной кривизны. Конечно, подобные поверхности являются лишь грубыми моделями трехмерного пространства отрицательной кривизны. Возможно, с появлением более мощных телескопов удастся решить вопрос о том, какова кривизна Вселенной — положительна, отрицательна или равна нулю. Телескоп позволяет видеть галактики лишь в определенном сферическом объеме. Если галактики распределены случайным образом и если пространство евклидово (нулевой кривизны), число галактик внутри подобной сферы должно быть всегда пропорционально кубу радиуса этой сферы. Другими словами, если построить телескоп, которым можно заглянуть в два раза дальше, чем любым телескопом до этого, то число видимых галактик должно увеличиться с n до 8n . Если этот скачок окажется меньше, то это будет означать, что кривизна Вселенной положительна, если больше — отрицательна. Можно подумать, что должно быть наоборот, но рассмотрим случай двухмерных поверхностей с положительной и отрицательной кривизной. Предположим, что из плоского листа резины вырезан круг. На него наклеены изюмины на расстояниях в полсантиметра одна от другой. Для того чтобы придать этой резине форму сферической поверхности, ее необходимо сжать, и многие изюмины сблизятся. Иными словами, если на сферической поверхности изюмины должны оставаться на расстоянии в полсантиметра одна от другой, то потребуется меньше изюмин. Если же резину наложить на поверхность седла, то изюмины раздвинутся на большие расстояния, т. е. чтобы на поверхности седла сохранить расстояния между изюминами в полсантиметра, потребуется больше изюмин. Мораль, вытекающая из всего этого, в шутливой форме может быть выражена так: когда вы покупаете бутылку пива, обязательно скажите продавцу, что вы хотите бутылку, содержащую пространство, искривленное отрицательно, а не положительно? — 66 —
|