Квантовая теория. Революция в микромире

Еще раз рассмотрим концептуальные элементы доказательства Планка.

— Электродинамика позволяет сформулировать отношение между механической энергией осциллятора и электромагнитным полем, с которым энергия находится в равновесии. Это отношение строится на предположении, что осциллятор поглощает столько же энергии, сколько излучает. Как можно было ожидать, отношение не зависит от физических характеристик осциллятора, таких как заряд или масса, но связано с частотой и универсальной константой — скоростью света. Это соответствует закону Кирхгофа, согласно которому спектральное распределение излучения не может зависеть от физических характеристик вещества, из которого изготовлены стенки полости.

— Второе начало термодинамики позволяет получить соотношение между внутренней энергией и температурой из выражения энтропии.

— Наконец, вероятностная интерпретация энтропии Больцмана позволяет рассчитать энтропию системы осцилляторов.

Математический вывод закона Планка

Для расчета энтропии взаимодействующих осцилляторов определенной частоты S = kln? необходимо рассчитать количество возможных конфигураций ?. Это количество зависит от всех доступных способов распределения элементов энергии Р величиной ? между количеством осцилляторов, равным ?. Обозначим элементы энергии кружками, границы элементов, соответствующих одному осциллятору, — крестиками. Любую конфигурацию можно записать в следующем виде.

Этот пример означает, что у первого осциллятора имеется три элемента энергии, у второго — один, у третьего — три, у четвертого — два и так далее. Возможное количество конфигураций нам дает комбинаторика, согласно которой:

? = (N + Р-1)!/Р!(N-1)!.

В цепочке у нас есть N + Р - 1 символов. Факториал в числителе означает все возможные комбинации крестиков и кружков. Факториалы в знаменателе показывают, что порядок, в котором идут кружки и крестики, не имеет значения, так как осцилляторы и элементы энергии неразличимы. Планк прибегнул к известному приближению, формуле Стирлинга, по которой Inn! = nlnn - n. И так как N и Р значительно больше единицы, получается:

S = k[(N + Р)lп(N + Р) - PlnP - N/ln/N].

Пользуясь тем, что UN = P?, и вводя среднюю энергию каждого осциллятора, UN= NU, Планк пришел к следующему выражению:

S = к[(1 + U/?)ln(1 + U/?) - (U/?)lnU/?].

Для того чтобы выражение энергии, получаемое из выражения выше, соответствовало закону смещения Вина, Планк доказал, что S может быть только функцией частного U/v. Это заставляет прибегнуть к гипотезе ? = hv, в которой h — константа, называемая сегодня постоянной Планка. С учетом этого получается: