|
Кузанец отлично понимает, что введенный им принцип совпадения противоположностей - единого и бесконечного, минимума и максимума - отменяет, если говорить строго, математическую науку, как, впрочем, и вообще все точное знание в том смысле, как его понимала античность и средние века. "Если тебя спросят, - пишет он, - почему у любого треугольника две стороны в сумме больше третьей, или почему у квадрата квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны, или почему квадрат стороны треугольника, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов других сторон и так далее, ты ответишь: на путях рассудка это необходимо потому, что иначе получилось бы совпадение противоречивого". Математика, по убеждению Кузанца, есть продукт деятельности рассудка; рассудок как раз и выражает свой основной принцип в виде запрета противоречия, т.е. запрета совмещать противоположности. Этот главный закон рассудка, сформулированный Аристотелем, согласно Николаю Кузанскому, составляет фундамент евклидовых "Начал", в которых подытожено развитие древнегреческой математики на протяжении нескольких веков. "Я как-то попытался доказать, - пишет Николай, - что соизмеримость диаметра и окружности недостижима и недопустима из-за необходимости избегать вышесказанного совпадения (имеется в виду совпадение противоположностей. - П.Г.), и внезапно понял, чт? в геометрии подлежит утверждению и чт? отрицанию; как в понятиях души, так и во всех доказательствах Евклида или чьих бы то ни было при разнообразии фигур я обнаружил эту единственную причину всего". К "общим понятиям души" Кузанец относит не только аксиомы, но также и постулаты, и определения, не различая между собой эти три группы допущений. Согласно Кузанцу, аксиомы, так же как и базирующиеся на них доказательства, являются тем "забором", с помощью которого рассудок заботливо отгородил свою территорию от тех противоречий, которые могли бы взорвать все возводимое им здание науки. И в самом деле, если проследить историю становления античной математики, тесно связанную с развитием античной философии и логики, то можно заметить, как некоторые важнейшие аксиомы геометрии возникают из стремления преодолеть те противоречия, которые влекут за собой допущение понятия актуальной бесконечности, и тем самым создать предпосылки для построения непротиворечивой системы знания. Такова, например, аксиома Евдокса, известная также под именем аксиомы Архимеда и составляющая одно из важнейших допущений, без которых была бы невозможна евклидова геометрия. Вот как формулируется аксиома Евдокса в виде IV определения V книги "Начал": "Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". С помощью этой аксиомы Евклид хочет найти возможность устанавливать отношения не только между соизмеримыми, но и между несоизмеримыми отрезками (величинами) и тем самым нейтрализовать те затруднения, которые были порождены открытием несоизмеримости. Но, как отмечает В. Вилейтнер, аксиома Евдокса у Евклида решает и еще одну задачу, а именно: "Евклид хочет лишить права находиться в отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы, как, например, введенные уже древними философами (Демокрит) последние частицы (атомы, неделимые) отрезка или же всю бесконечную прямую". Греческим математикам были известны так называемые роговидные углы, т.е. углы, образованные окружностью и касательной (или же двумя кривыми). Но криволинейные и прямолинейные углы не находятся между собой ни в каком отношении - роговидный угол всегда меньше любого угла. Иначе говоря, "роговидные углы по отношению к любому прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми, величинами". Аксиома Евдокса оказывается непосредственно связанной с необходимостью избежать парадоксов актуально бесконечного, которые были выявлены Зеноном и вызвали стремление избежать их не только у математиков - Евдокса, Евклида, Архимеда, но и у Аристотеля, положившего принцип непрерывности (аналогичный аксиоме непрерывности Евдокса) в основу античной физики. — 21 —
|