|
3 Лобачевский Н.И. Полн. собр. соч. М.; Л., 1949. Т. 2. С. 159. Спустя почти 40 лет после работ Лобачевского, в 1868 г. была опубликована работа Б. Р и м а н а «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Опираясь на идею о возможности геометрии, отличной от евклидовой, Риман подошел к этому вопросу с несколько иных позиций, чем Лобачевский. Он вводит обобщенное понятие пространства как непрерывного многообразия n-го порядка или совокупности любого рода однотипных объектов — точек, определяемых системой чисел (x1, x2, ..., хn). Используя работы Гаусса по внутренней геометрии поверхностей в обычном 236 трехмерном пространстве и ее аналитический аппарат, позволяющий определять линейный элемент поверхности, Риман вводит для характеристики многообразия n-го порядка понятие расстояния между бесконечно близкими точками ds и понятие кривизны для каждой точки этого многообразия. В искривленном пространстве нет прямых линий, а свойства геометрических фигур другие, чем на плоскости. Прямая заменена здесь линиями, которые являются кратчайшими расстояниями между точками. Риман высказал новое понимание бесконечности пространства: пространство нужно признать неограниченным; однако если оно может иметь положительную постоянную кривизну, то оно уже не бесконечно, подобно тому как поверхность сферы хотя и не ограничена, но тем не менее ее размеры не являются бесконечными. Так зарождалось представление о разграничении бесконечности и безграничности пространства (и времени). С точки зрения Римана, вопрос о том, является ли геометрия нашего физического пространства евклидовой, что соответствует его нулевой кривизне, или эта кривизна не равна нулю, должен решить эксперимент. При этом он допускает, что свойства пространства должны зависеть от материальных тел и процессов, которые в нем происходят. Риман вообще ориентировался на тесную связь геометрии физики. Так, в частности, дал приложение своей теории к задаче распространения тепла в анизотропном теле. Такие приложения стали более разнообразными после создания на рубеже XIX—XX вв. итальянскими математиками Р. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита тензорного исчисления. Оно оказалось наиболее удачным аналитическим аппаратом для разработки римановой геометрии, в частности ее приложений к изучению свойств различных анизотропных тел. Но подлинным триумфом стало применение его теории в создании общей теории относительности. Идеи неевклидовых геометрий первое время имели весьма мало сторонников, так как противоречили «здравому смыслу» и устоявшимся в течение многих веков воззрениям. Обоснование реальности таких геометрий состояло в поиске таких объектов, в которых воплотились бы положения неевклидовых геометрий. Перелом наступил только во второй половине XIX в. Окончательные сомнения в логической правильности неевклидовых геометрий были развеяны в работах итальянского математика Э. Бельтрами, который показал, что на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (псевдосферы) осуществляется именно неевклидова геометрия Лобачевского. Интерес к работам Лобачевского и Римана вновь ожил и вызвал многочисленные исследования в области неевклидовых геометрий и оснований геометрии. — 184 —
|