Был ли Бог математиком?

Возможно, то, что Атья привлекает для доказательства гипотетическую вселенную медузы, читателю не понравится. Возможно, читатель возразит, что Вселенная только одна, деваться из нее некуда и любое предположение следует изучать в контексте этой Вселенной. Однако это, в сущности, все равно что признать, что понятие натуральных чисел каким-то образом зависит от Вселенной человеческого опыта! Обратите внимание, что именно это и имеют в виду Лакофф и Нуньес, когда говорят, что математика «встроена».

Итак, я только что приводил доводы за то, что понятия нашей математики коренятся в человеческом разуме. Вероятно, вы спросите, почему же я раньше так настаивал, что математика по большей части открыта – именно такой точки зрения придерживаются платоники.

Изобретение и открытие

В повседневной жизни разница между открытием и изобретением иногда совершенно очевидна, а иногда несколько размыта. Никто не станет утверждать, будто Шекспир открыл Гамлета, а мадам Кюри изобрела радий. Однако же новые лекарства от некоторых болезней обычно принято называть открытиями, хотя на самом деле они зачастую появляются в результате тщательного синтеза новых химических соединений. Давайте остановимся на вполне конкретном примере из математики, который, думается мне, не только поможет прояснить, чем открытие отличается от изобретения, но и позволит взглянуть по-новому на процесс развития и прогресса математики.

В книге VI фундаментальных «Начал» Евклида мы обнаруживаем определение деления отрезка на две неравные части неким заданным способом (оно же применительно к площади приводится и раньше, в книге II). Согласно Евклиду, если отрезок АВ делится точкой С (рис. 62) таким образом, что соотношение длин сегментов (AC/CB) равно отношению длины всего отрезка к более длинному сегменту (AB/AC), говорят, что отрезок делится «в крайнем и среднем отношении». Иначе говоря, если AC/CB = AB/AC, то каждое из этих отношений называется «крайним и средним отношением». С XIX века это отношение известно широкой публике как золотое сечение [157]. В результате несложных алгебраических вычислений получается, что золотое сечение равно

Прежде всего, вы вправе поинтересоваться, почему Евклида вообще заинтересовало определение именно такого деления отрезка и зачем было давать этому соотношению особое название? Ведь разных способов поделить отрезок бесконечно много. Ответ на этот вопрос можно найти в культурно-мистическом наследии Пифагора и Платона. Вспомним, что пифагорейцы были одержимы числами. Они считали, что нечетные числа – это мужское начало и добро, а четные, соответственно, – женское начало и зло. Особое родство они ощущали с числом 5: ведь это союз 2 и 3, первого четного (женского) числа с первым нечетным (мужским). (Число 1 вообще считалось не числом, а генератором остальных чисел.) Поэтому для пифагорейцев число 5 представляло собой воплощение любви и брака, и пентаграмму – пятиконечную звезду – они сделали символом своего братства (рис. 63). И вот тут-то на сцену впервые вышло золотое сечение. Если взять правильную пентаграмму, то отношение боковой стороны любого треугольника к его основанию (a /b на рис. 63) в точности равно золотому сечению. Подобным же образом отношение любой диагонали правильного пятиугольника к его стороне (c /d на рис. 64) также равно золотому сечению. А значит, чтобы построить пятиконечную звезду или пятиугольник при помощи циркуля и линейки (именно так проделывали геометрические построения древние греки), требуется разделить отрезок в золотом сечении.