|
Риман сделал и следующий шаг в разработке неевклидовых концепций и представил геометрии в искривленных пространствах с тремя и четырьмя измерениями и даже больше. Одно из важнейших понятий, разработанных Риманом, – это понятие кривизны , скорости искривления кривой или поверхности. Например, поверхность яйца быстрее всего закругляется у заостренного конца. Риман дал и точное математическое определение кривизны в пространстве с любым количеством измерений. При этом он скрепил узы между алгеброй и геометрией, то есть продолжил дело Декарта. В трудах Римана уравнениям с любым числом переменных нашлись геометрические соответствия – и новые понятия из области новых геометрий стали партнерами алгебраических уравнений. Рис. 45 Высокое положение евклидовой геометрии – не единственная жертва открытий, которые распахнули перед геометрией в XIX веке совершенно новые горизонты. Представления Канта о пространстве долго не продержались. Вспомним, что Кант утверждал, что данные органов чувств организуются исключительно по шаблонам, которые задал Евклид, еще до того, как регистрируются в нашем сознании. Геометры XIX столетия быстро выработали у себя интуитивное понимание неевклидовых геометрий и научились исследовать мир с этой точки зрения. Оказалось, что евклидово восприятие пространства все-таки не интуитивно, ему учатся. Все эти поразительные открытия натолкнули великого французского математика Анри Пуанкаре (1854–1912) на вывод, что аксиомы геометрии – это «не синтетические интуитивные априорные догадки и не экспериментальные факты. Это договоренности (курсив мой. – М. Л. ). Какую именно договоренность из всех возможных мы выбираем, зависит от экспериментальных фактов, но это свободный выбор». Иначе говоря, Пуанкаре считал аксиомы и постулаты всего лишь «замаскированными определениями». Представления Пуанкаре были вдохновлены не только неевклидовыми геометриями, о которых мы только что говорили, но и бурным ростом других новых геометрий, который к концу XIX века, похоже, совершенно вышел из-под контроля (Poincar? 1891). Скажем, в проективной геометрии (проекции получаются, например, если спроецировать на экран изображение на кинопленке) можно буквально менять местами роли точек и линий, так что теоремы о точках и линиях (в этом порядке) становятся теоремами о линиях и точках. В дифференциальной геометрии математики применяют дифференциальное исчисление для изучения локальных геометрических свойств различных математических пространств, например поверхности сферы или тора. По крайней мере, на первый взгляд все эти геометрии и им подобные казались порождением математического вдохновения и воображения, а не точными описаниями физического пространства. Ну и как прикажете в таких условиях отстаивать представление о Боге-математике? Ведь если «Бог всегда остается геометром (пер. Л. Сумм )» (эту фразу приписывал Платону историк Плутарх), которая из множества геометрий соответствует божественным практикам? — 104 —
|