|
Tn = n(n+1)/2. Сложно сказать точно, какое из этих двух рассуждений применил юный Гаусс. Мальчик с раннего возраста проявлял интерес к треугольным числам и их свойствам, поэтому, возможно, он понял, что требуется вычислить треугольное число с основанием в 100 единиц. Так, в его математическом дневнике есть запись от 18 июля 1796 года: «Эврика! num = ? + ? + ?», что в переводе с зашифрованного языка Гаусса означает одну из его самых известных теорем, в которой утверждается, что любое целое положительное число может быть представлено в виде суммы самое большее трех треугольных чисел. Следует обратить внимание: эта теорема не предполагает, что треугольные числа должны быть разными и что их обязательно должно быть три (например, 20 = 10 + 10). Три — это лишь максимальное число треугольных чисел, но может быть достаточно и двух, а если искомое число само треугольное, то для его представления достаточно одного числа — его самого. Радость от открытия была более чем оправданной. Молодой Гаусс ответил на один из вызовов старого Ферма (1601-1665). И это был не просто вызов... Даже великий Леонард Эйлер (1707-1783) не смог справиться с этой задачей. Далее мы поговорим о Ферма и Эйлере более подробно, потому что в их работах снова появятся связи с трудами Гаусса — первого человека в истории, который ответил на одну из знаменитых гипотез Ферма. В математике гипотеза — это просто результат, который, похоже, является верным, но который не удалось доказать в строгом аналитическом виде, и при этом для него не был найден и опровергающий контрпример. Этот результат был опубликован Гауссом только в 1801 году в книге «Арифметические исследования». Ученый не публиковал свои открытия сразу после их совершения, а ждал несколько лет, пока у него не накопится достаточно материала для издания целой книги. Эта его манера стала источником споров о первенстве Гаусса относительно некоторых математических открытий. Действительно, существуют результаты, которые он нашел первым, но сохранил в тайне, и опубликованы они были другими математиками. Конечно, это не означает, что открытия Гаусса были украдены, просто другие ученые приходили к похожим или таким же выводам независимо от героя нашей книги и ничего не зная о его успехах. Многие из этих споров оставались нерешенными долгие годы, пока не появилась возможность изучить всю переписку и научные записи Гаусса. Теорема о треугольных числах напоминает знаменитую гипотезу Гольдбаха, сформулированную Кристианом Гольдбахом (1690-1764). В ней утверждается, что любое четное натуральное число, большее 2, может быть выражено в качестве суммы двух простых чисел. А это означает, что любое нечетное число, большее 5, может быть выражено в качестве суммы трех или меньше простых, поскольку если оно само по себе не простое, достаточно сложить простое число 3 и четное число, меньшее этого числа на три единицы. Однако Гауссу удалось доказать свой результат, в то время как гипотеза Гольдбаха все еще не доказана в строгом виде. Этот пример объясняет, почему в математике придается такое значение доказательству. Гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чисел, меньших 1014 (числа невообразимой величины), но она не принята в качестве математического результата и так и не стала теоремой, оставаясь простой гипотезой. — 11 —
|