Решение.

1. Объявляем целевую функцию f и функцию Лагранжа L:

2. Находим стационарные точки:

а) объявляем все частные производные первого порядка функции L:

б) приравниваем к нулю все частные производные первого порядка функции Лагранжа L и получаем систему, которую решаем с помощью блока Given:

Таким образом, функция f имеет одну стационарную точку (91, 89).

3. Для каждой стационарной точки проверяем наличие у функции f минимума или максимума. Для этого:

а) объявляем все производные второго порядка целевой функции f:

б) вычисляем значения всех производных второго порядка функции f в каждой стационарной точке:

в) вычисляем значения членов последовательности

Так числа ?1, ?2 положительны, то функция f в точке (91, 89) имеет минимум, равный

Ответ. Функция при условии имеет минимум 17278, который достигается при x1 = 91, x2 = 89.

Лабораторная работа № 3

Задание. Решить задачу нелинейного программирования в приложение Microsoft Excel и методом Лагранжа в системе MathCad.

1. 2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

2. Динамическое программирование

Динамическое программирование представляет собой математический метод оптимизации решений при поэтапном (пошаговом) развитии ситуации, причём выбор оптимального решения зависит как от состояния ситуации на момент выбора очередного шага, так и от истории развития ситуации.

Следует подчеркнуть, что динамическое программирование применимо только для решения таких "многошаговых" задач, для которых справедливо утверждение: если за k шагов получено оптимальное решение, то выбор оптимального решения на k+1 шаге даёт оптимальное решение за все k+1 шагов.

Из сказанного вытекает, что при динамическом программировании оптимальное решение ищется "с конца", то есть от последнего к первому шагу.

Пример 1. Дана карта автомобильных дорог с нанесёнными расстояниями между населёнными пунктами

требуется найти наикратчайший маршрут между начальным пунктом A и конечным пунктом L.

Решение задачи методом динамического программирования (два этапа).

1. Двигаясь от конечного пункта L к начальному пункту A, помещаем в каждую вершину графа наикратчайшее расстояние от неё до конечной вершины L и отмечаем на карте соответствующую дорогу: