Теория и методы принятия решений

Во-первых, можно считать, что цена игры ? (пока неизвестная) больше нуля. Действительно, если ? ? 0, то это означает, что некоторые элементы матрицы игры не положительные. Тогда найдём число M > 0, которое прибавим ко всем элементам матрицы игры и получим новую матрицу с положительными элементами. Это сложение сделает новую цену игры ? + M положительной, но не изменит решения игры.

Во-вторых, предположим, что игрок A применяет свою оптимальную смешанную стратегию , а игрок B свою чистую стратегию Bj. В этом случае средний выигрыш игрока A будет равен

Стратегия является оптимальной, то есть при любой стратегии игрока B средний выигрыш игрока A будет больше или равен цены игры ?, таким образом, получаем систему ограничений

Разделим обе части всех неравенств на положительное число ? и обозначим

тогда система ограничений примет вид

Далее, так как p1 + p2 +… + pm = 1, то

Игрок A стремится максимизировать свой средний выигрыш ?, то есть минимизировать отношение

Таким образом, получаем задачу линейного программирования:

Заметим, что эта задача имеет решение, найдя которое найдём новую цену игры , вычтя из которой число M, получим искомую цену игры.

Аналогичные рассуждения дают оптимальную стратегию игрока B:

обозначим

тогда оптимальная стратегия игрока B есть решение следующей задачи линейного программирования:

причём

Применим основную теорему теории игр для отыскания оптимальных стратегий игроков в игре "поиск".

1. Матрица игры "поиск" содержит отрицательные элементы, поэтому, прибавляя к её элементам число M= 1, получим

2. Для нахождения оптимальной стратегии игрока A решаем следующую задачу линейного программирования:

Так как последняя система ограничений эквивалентна системе

то минимум функции равен 1 и достигается при

Так как то ? = 1. Вычитая из ? число M = 1, получим, что цена игры равна 0 = 1 – 1, а оптимальная стратегия

Итак, чередуя свои обе стратегии с вероятностями , игрок A гарантирует себе средний выигрыш, равный 0, что больше нижней цены игры -1 при чистых стратегиях.

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что игрок B, чередуя свои стратегии с вероятностями , получает средний выигрыш, равный 0.

Лабораторная работа № 6

Задание. Найти решение игры в смешанных стратегиях. Сравнить найденное решение с нижней и верхней ценой игры.

1. Два игрока одновременно показывают один, два или три пальца. Если общее количество чётное, то второй игрок платит первому это количество в рублях, а если нечётное, то первый платит второму это количество в рублях.