|
Эти примеры, к которым можно добавить не один десяток других, показывают, что на протяжении всей нашей интеллектуальной истории математика никогда не была изолирована от других сфер человеческого знания и деятельности. В XX веке, однако, прогрессирующий редукционизм, фрагментация и специализация привели к крайней степени изоляции математики даже внутри научного сообщества. Так, теоретик хаоса Ральф Эбрем вспоминает:
Когда я начал свою профессиональную деятельность в математике в 1960 году, то есть не так уж давно, математика во всей ее полноте отвергалась физиками, включая и самых авангардных математических физиков... Было отвергнуто все, что еще год или два назад использовал Эйнштейн... Физики отказывали старшекурсникам в разрешении на посещение математических курсов, проводимых математиками: «Учитесь математике у нас. Мы научим вас тому, что вам следует знать»... Это было в 1960 году. К 1968 году ситуация изменилась полностью40.
Великое очарование теорией хаоса и фрактальной геометрией, распространившееся среди людей, которые работают в разных областях — от ученых до менеджеров и художников, — возможно, и в самом деле свидетельствует, что изоляции математики приходит конец. В наше время новая математика сложных систем все чаще побуждает людей к осознанию того, что математика вообще — это нечто намного большее, чем сухие формулы; что понимание паттерна — необходимый путь к пониманию окружающего нас живого мира; и что все проблемы паттерна, порядка и сложности — это проблемы существенно математического характера.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ 6
- Цитируется по Сарга (1982), р. 55.
- Цитируется по Сарга (1982), р. 63.
- Stewart (1989), р. 38.
- Цитируется там же, р. 51.
- Точнее, давление — это сила, поделенная на площадь, на которую давит газ.
- Здесь, очевидно, следует сделать техническое замечание. Математики различают зависимые и независимые переменные. В функции у = f (х), у — зависимая
переменная, ах — независимая. Дифференциальные уравнения называются
линейными-, если все зависимые переменные присутствуют в них в первой степени, а независимые переменные могут появляться и в более высоких степенях. В нелинейных же уравнениях зависимые переменные присутствуют в степенях выше первой. См. также выше, с. 133— 136.
- См. Stewart (1989), р. 83.
- См. Briggs and Peat (1989), p. 52ff.
- См. Stewart (1989), p. 155ff.
- Cm. Stewart (1989), pp. 95-96.
- См. выше, с 139— 140.
- Цитируется по Stuart (1989), p. 71.
- Там же, р. 72; подробнее о странных аттракторах см. выше, с. 150 и далее.
- См. Сарга (1982), p. 75ff.
- См. Prigogine and Stengers (1984), p. 247.
- См. Mosekilde et al. (1988).
- CM.Gleick(1987),p. llff.
- Цитируется по Gleick (1987), p. 18.
- Cm. Stewart (1989), p. 106ff.
- См. выше, с. 103 и далее.
- См. Briggs and Peat (1989), p. 84.
- Abraham and Shaw (1982-88).
- Mandelbrot (1983).
- Cm. Peitgen et al. (1990). Эта видеокассета, содержащая великолепную компьютерную анимацию и увлекательное интервью с Бенуа Мандельбро и Эдвардом Лоренцем, может служить одним из лучших введений в фрактальную геометрию.
- См. там же.
- См. Peitgen etal. (1990).
- См. Mandelbrot (1983), p. 34ff.
- См. Dantzig (1954),p. 181 ff.
- Цитируется по Dantzig (1954), р. 204.
- Цитируется там же, р. 189.
- Цитируется там же, р. 190.
- CM.Gleick(1987),p.221ff.
- Легко понять, что любое число больше 1 увеличивается при каждом очередном возведении в квадрат, тогда как число меньше 1 уменьшается. Добавление константы перед возведением в квадрат на каждой ступени итерации добавляет разнообразие; для комплексных чисел вся ситуация еще более усложняется.
- Цитируется по Gleick (1987), pp. 221-222.
- См. Peitgen et al. (1990).
- См. Peitgen et al. (1990).
37.Cm. Peitgen and Richter (1986).
— 105 —
|