Мудрость запада. Том 1

Доказательство такого рода, которое может быть повторено снова и снова, ведет к дурной бесконечности, но не всегда к противоречию. Действительно, никто в наши дни не стал бы возражать против взгляда, что любое пространство — это часть большего пространства. Для Зенона противоречие заключается как раз в том, что он считает само собой разумеющимся, будто "это есть" — конечно. Следовательно, он поставлен перед тем, что называется порочным кругом.

Доказательства этого типа в действительности являются формой доведения до абсурда. Они показывают, что основа доказательства несовместима с каким-либо другим утверждением, которое признается правильным.

Самыми известными из доказательств Зенона являются четыре парадокса о движении, и первый среди них — это история об Ахилле и черепахе. И вновь Зенон отстаивает теорию Парменида не напрямую. На пифагорейцев ложилась обязанность произвести что-нибудь лучшее, поскольку их теория не могла объяснить движение. Рассуждение таково, что, если Ахилл и черепаха будут соревноваться в беге, Ахилл никогда не сможет Догнать свою соперницу. Предположим, черепаха начала движение вперед; пока Ахилл подбегает к месту старта черепахи, последняя продвинется еще немного вперед. Пока Ахилл подбегает к этой новой позиции, черепаха снова продвинется чуть дальше. Каждый раз, как Ахилл приближается к предыдущей позиции черепахи, это жалкое создание отодвигается вперед. Ахилл, конечно, подбегает ближе и ближе к черепахе, но он никогда не догонит ее.

а) Пока Ахилл бежит дистанцию, черепаха уходит вперед на какое-то расстояние, и так далее, до бесконечности.

Нам следует помнить, что это рассуждение направлено против пифагорейцев. Следовательно, их предположение принято, а линия считается состоящей из единиц или точек. Таким образом, это заключение — способ сказать, что, как бы медленно черепаха ни двигалась, она должна будет пройти бесконечное расстояние, прежде чем это соревнование закончится. Здесь другая форма доказательства того, что вещи бесконечны по размеру.

Хотя было бы не трудно показать, что неправильно в этом заключении, нам должно быть совершенно ясно, что в качестве противника пифагорейского учения о единице это рассуждение непогрешимо. Только отвергнув эту точку зрения на единицу, мы можем развивать теорию о бесконечных рядах, которая показывает, в чем заключается ошибка. Если, например, ряд состоит из членов, уменьшающихся в постоянной пропорции, как длина последовательных шагов в соревновании, тогда мы можем вычислить, где Ахилл догонит черепаху. Сумму таких рядов определяют как такое число, что сумма любого числа отрезков никогда не превысит его, но сумма достаточно большого числа отрезков будет приближаться к нему так близко, как мы захотим. То, что существует одно и только одно такое число для данного ряда, следует утверждать здесь без доказательств. Такие ряды называют геометрическими. Любой, знакомый с основами математики, может справиться с этим в наши дни. Но давайте не забывать, что именно критическая работа Зенона сделала возможным развитие соответствующей теории продолжающегося количества, на которой основаны эти суммы, кажущиеся сегодня детскими игрушками.