Ранняя классика

Между каждыми двумя элементами, как бы они ни были близки друг к другу, мыслим всегда еще и третий элемент; а в каждой из двух образовавшихся половин после разделения цельного расстояния между двумя элементами тоже мыслимо помещение еще нового элемента и т.д. Таким образом, как бы ни было мало расстояние между двумя элементами, оно может быть бесконечно уменьшаемо. И, в конце концов, оно может быть доведено до той предельной точки, которая уже не допускает помещения новой точки, так что весь промежуток между двумя элементами в порядке постепенного дробления может быть доведен до полной неразличимости элементов, до полной их взаимопронизанности. Если бы мы захотели перечислить все возможные отрезки в пределах какой-нибудь области, например в пределах расстояния между 1 и 2, то мы получили бы не только бесконечное количество отрезков. Если взять все рациональные числа, т.е. те, которые получаются в результате четырех действий арифметики, а также все иррациональные числа, т.е. те бесконечные последовательности дробных чисел, возникающие в результате извлечения корня какой-либо степени из того или другого числа, то обе эти области чисел, рациональных и иррациональных, обычно носят название действительных чисел (в отличие от разного рода мнимых величин, имеющих совсем другое происхождение). Заменяя понятие числа более общим понятием мощности, говорят, что множество всех действительных чисел обладает мощностью континуума. Именно только континуум обеспечивает возможность появления бесконечного числа всех родов чисел рациональных и иррациональных, и больших или малых, так как именно в нем мы находим взаимную сомкнутость и взаимную пронизанность до полной неразличимости решительно всех возможных действительных чисел.

Так как всякая целость состоит из структурно соотносящихся элементов и эти элементы представляются в виде раздельного множества элементов (хотя бы и бесконечного, и тогда бесконечное множество такого рода элементов называется счетным множеством), или в виде неразличимого континуума, уже не сводящегося к отдельным точкам (хотя бы их было и бесконечное количество), следовательно, всякая целость, смотря по точке зрения, может быть рассматриваема и как счетное множество и как континуум. Бесконечное число не есть такое стабильное число, которое можно получить путем последовательного прибавления единицы к какому-либо конечному числу. Бесконечное число в этом смысле является диалектическим прыжком от любого конечного числа, как бы велико последнее ни было. Оно по своему качеству вполне противоположно любому конечному числу. К бесконечному числу можно прибавлять сколько угодно новых единиц, и оно при этой операции все равно останется тем же самым бесконечным числом. Следовательно, бесконечность вообще не есть нечто стабильное. Это есть никогда не кончающийся процесс увеличения или уменьшения, или, вообще говоря, оно есть любое конечное число, взятое в его непрерывном становлении.