|
Когда истинность или ложность молекулярной пропозиции зависит только от истинности или ложности входящих в неё пропозиций, я называю это истинностными функциями пропозиций. То же самое применимо к 'р и q 'если p, то q' и 'р несовместимо с q'. Когда я говорю: 'р несовместимо с q' я просто хочу сказать, что они оба не являются истинными. Я не подразумеваю чего-либо большего. Это и называется истинностными функциями, а молекулярные предложения, которые нас сегодня интересуют, являются примерами истинностных функций. Если р - пропозиция, то утверждение 'Я убеждён, что р' не зависит от её истинности или ложности, не зависит только от истинности или ложности р, поскольку я убеждён в некоторых, но не во всех, истинных пропозициях, и в некоторых, но не во всех, ложных пропозициях. Я как раз хочу немного рассказать вам о способе построения этих истинностных функций. Вы можете построить все различные типы истинностных функций из одного начала, а именно, из 'р несовместимо с q' подразумевая под этим, что р и q не являются оба истинными, что по крайней мере один из них является ложным. 'р несовместимо с q' будем обозначать посредством p? q. Возьмём, например, р? р, т.е. 'р несовместимо с самим собой'. Ясно, что в этом случае р будет ложным, стало быть можно взять 'р? р' как значение 'р является ложным', т.е. р? р = не-р. Значение молекулярной пропозиции всецело предопределено её истинностной схемой и ничего более в ней нет, так что, когда вы получаете две пропозиции с одной и той же истинностной схемой, их можно отождествить. Предположим, вам требуется 'если p, то q'; это просто означает, что р не может быть без q, т.е. р несовместимо с ложностью q. Таким образом, 'Если р, то q = p? (q? q). Раз у вас это есть, отсюда конечно сразу же следует, что если р является истинным, то и q является истинным, поскольку нельзя, чтобы р было истинным, а q - ложным. 36 Предположим, вам требуется 'р или q'', это означает, что ложность р несовместима с ложностью q. Если р является ложным, q не является ложным, и наоборот. Это будет выглядеть так: (p? p)? (q? q). Предположим, вам требуется 'р и q оба истинны'. Это будет означать, что р не является несовместимым с q. Когда р и q оба истинны, то, что по крайней мере одно из них ложно, не имеет места. Таким образом, 'р и q оба истинны' = (p? q)? (p? q). Вся дедуктивная логика связана просто с усложнением и развитием этой идеи. То, что идея несовместимости достаточна для этой цели, впервые показал м-р Шеффер*, а большая часть работы была последовательно проделана М.Нико*. Этим способом пользоваться гораздо более проще, чем тем, что применён в Principia Mathematica, где в качестве отправного пункта используются две примитивные идеи, а именно, 'или' и 'не'. Здесь же для дедукции вы можете обойтись одной единственной предпосылкой. Я не развиваю эту тему дальше, поскольку она уведёт вас прямо в математическую логику. — 29 —
|