|
Пропускаю десять теорем и перехожу к шестнадцатой: «В каждом треугольнике, одна сторона которого продолжена, внешний угол больше, чем каждый из двух противостоящих ему внутренних». Доказательство Евклида таково (см. рис. 4). Возьмем треугольник abg, продолжим сторону bg к d, и я утверждаю, что внешний угол agd больше, чем каждый из двух противостоящих ему внутренних. Разделим сторону ag пополам в точке е, проведем линию be, продолжим ее до z p сделаем ez равной еb, соединим точки z и g и продолжим ag до h. Так как ае равна eg и be равна ez, то две стороны ае и eb равны двум сторонам ge и ez, взятым в отдельности, и угол aeb равен углу zeg, ибо это — вертикальные углы. Тем самым основная линия ab равна основной линии zg и треугольник аbe равен треугольнику zeg: а остальные углы равны остальным углам, следовательно, и угол bae равен углу egz. Однако угол egd больше угла egz, следовательно, и угол agd больше угла bae. Если разделить пополам и линию bg, то подобным же образом можно доказать, что угол bgh, т. е. его вертикальный угол agd, больше, чем abg. Я бы доказал эту теорему следующим образом (см. рис. 5). Для того чтобы угол bag был равен, а тем более превзошел бы, угол agd, линия ba (ибо это и означает равенство углов) должна была бы находиться по отношению к линии ga в том же направлении, как bd, т. е. быть параллельной bd, другими словами, никогда не пересекаться с bd; однако для того чтобы образовать треугольник, она должна (основание бытия) пересечься с bd, т. е. совершить противоположное требуемому для того, чтобы угол bag хотя бы достиг величины угла agd. Для того чтобы угол abd был равен углу agd, а тем более превосходил его (ибо именно это и означает равенство углов), линия bа должна была бы находиться по отношению к линии ga в том же направлении, что bd, т. е. идти параллельно bd, другими словами, никогда не пересекаться с ней; но для того чтобы образовать треугольник (основание бытия), она должна пересечься с линией ag, следовательно, совершить противоположное требуемому для того, чтобы угол abg хотя бы достиг величины угла agd. Всем этим я отнюдь не хотел предложить новый метод математических демонстраций или заменить моим доказательством доказательство Евклида; для этого оно не подходит по всему своему характеру, а также потому, что оно предполагает понятие параллельных линий, которое лишь позже встречается у Евклида; я хотел лишь показать, чт? есть основание бытия и чем оно отличается от основания познания, которое действует лишь convictio, а это нечто совсем другое, чем понимание основания бытия. То, что в геометрии стремятся действовать лишь convictio, что производит неприятное впечатление, а не пониманием основания бытия, которое, как всякое понимание, удовлетворяет и радует, послужило, вероятно, одной из причин того, что многие люди глубокого ума не склонны заниматься математикой. — 74 —
|