Был ли Бог математиком?

Вероятно, вам интересно, как это абстрактное логическое определение помогает определить, скажем, число 4. По Фреге, число 4 – это объем (или класс) всех концептов, под которые подпадают четыре объекта. Так что к этому классу, а следовательно, к числу 4, принадлежит и концепт «быть лапкой песика по имени Снупи», и концепт «прабабушка Готлоба Фреге».

Программа Фреге произвела настоящую сенсацию, однако были у нее и серьезные недостатки. С одной стороны, идея применять концепты – самую суть мышления – к построению арифметики была просто гениальной. С другой – Фреге не разглядел в собственной системе понятий весьма существенные противоречия. В частности, доказано, что одна из его аксиом, так называемый «Основной закон V », ведет к противоречию и поэтому безнадежно ошибочна. Сам по себе закон довольно невинен: он гласит, что объем концепта F идентичен объему концепта G тогда и только тогда, когда под концепты F и G подпадают одни и те же объекты. Однако 16 июня 1902 года разорвалась бомба: Бертран Рассел (рис. 49) написал Фреге письмо, где привел некий парадокс, доказывавший, что Основной закон V приводит к противоречию. Судьба распорядилась так, что письмо Рассела пришло как раз тогда, когда второй том «Основных законов арифметики» готовился к печати. Потрясенный Фреге поспешил сделать к рукописи откровенное примечание: «Едва ли для ученого что-то может быть неприятнее, чем обнаружить, что самые основы его рассуждений рухнули, когда работа уже завершена. Именно в такое положение поставило меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда книга была уже практически в печати». Самому же Расселу Фреге, как человек благородный, написал: «Открытое Вами противоречие стало для меня величайшей неожиданностью – и вынужден признаться, что я даже испугался, поскольку оно сотрясло самые основы, на которых я намеревался выстроить арифметику».

Как странно, однако, что один-единственный парадокс оказал такое разрушительное воздействие на целую программу, целью которой было заложить основы математики, но, как отметил Уиллард Ван Орман Куайн, «Не раз и не два в истории случалось так, что открытие парадокса становилось поводом для основательной реконструкции самого фундамента мысли». Именно такой повод и предоставил парадокс Рассела.

Рис. 49

Парадокс Рассела

Теорию множеств создал практически в одиночку немецкий математик Георг Кантор. Вскоре стало понятно, что множества играют в математике настолько фундаментальную роль и настолько тесно переплетены с логикой, что любые попытки выстроить математику на основе логики с необходимостью предполагали, что ее будут строить на аксиоматической основе теории множеств.