Гаусс. Теория чисел. Если бы числа могли говорить

В «Исследованиях» Гаусс придал новое направление теории чисел, которая перестала быть набором разрозненных результатов и превратилась в такую же важную математическую дисциплину, как анализ или геометрия.

Работа разделена на семь глав, или разделов. Первые три раздела вводные, разделы с IV по VI образуют центральную часть работы, а раздел VII — это маленькая монография, посвященная отдельной теме, но связанная с остальными главами.

Молодому Гауссу повезло, что он мог рассчитывать на материальную помощь герцога Брауншвейгского (сверху), который оплачивал его образование и покровительствовал ученому до своей смерти в 1806 году. Благодаря влиянию герцога Гаусс в 1791 году поступил в Коллегию Карла (внизу), где начал работу над некоторыми своими важнейшими математическими результатами, отраженными в «Арифметических исследованиях», обложка которых представлена на среднем фото.

В разделе I, состоящем всего из пяти страниц, вводятся элементарные понятия, такие как признаки делимости на 3, 9 и 11. Кроме того, Гаусс дает определение сравнения по модулю; это понятие будет раскрыто в разделе II: если заданы целые числа а и b и их разница (а - b или b - а) делится без остатка на число m, мы говорим, что a, b сравнимы по модулю m, и это записывается следующим образом: a = b (mod m). Так, 56 = 6 (mod 5) или 47 = 14 (mod 11).

Сравнения по модулю — очень важное открытие в математике, они помогают выполнять вычисления любого типа. Их идея близка к тому, как работают с обычным циферблатом часов, поэтому сравнения также называют вычислителями часов. Если обычные часы со стрелками показывают 9, и проходит 4 часа, стрелки будут показывать 1. То есть 13=1 (mod 12). Такое вычисление, как 7? = 7 · 7, в итоге дает 1 по модулю 12, поскольку 49, разделенное на 12, в остатке дает 1. Результат сравнения по модулю — это всегда остаток от деления числа на определенный модуль.

Значимость этой системы проявляется, когда речь идет о более сложных вычислениях. Если нужно вычислить 7? = 7 · 7 · 7, вместо того, чтобы умножать 49 на 7, Гаусс мог ограничиться тем, чтобы умножить 7 на результат последнего сравнения по модулю, то есть 1, произведение будет равно, без сомнения, 7. Так, Гаусс знал, что произведение — это число, которое при делении на 12 в остатке дает 7. Этот метод может быть применен на больших числах, которые превышают возможность вычисления. Не имея ни малейшего понятия о значении 799, с помощью сравнений по модулю ученый знал, что если разделить это число на 12, в остатке получится 7. Исследования Гаусса в этой области арифметики были революционными для математики начала XIX века и позволили ученым обнаруживать структуры, до этого скрытые. Сегодня арифметика сравнений по модулю, также называемая модульной арифметикой, является фундаментальной для безопасности в интернете, где сравнения используются для величин, превышающих количество атомов во Вселенной.