|
Наша, так называемая позиционная система счисления и записи менее «очевидна» и требует известной условности. Она возникла, по-видимому, в Древней Индии, откуда мы через посредство арабов заимствовали не только самую систему, но и арабские цифры. Причем вот что любопытно: историки математики обнаружили, что у древних индусов еще до появления позиционной записи существовала словесная система обозначения чисел, употреблявшаяся преимущественно в научных трудах. Строго говоря, были даже две системы. Одна сокращенная. В ней каждое число обозначалось названием предмета, который обычно встречается в данном количестве (например, единица обозначалась словом «луна», 2 — «глаза», 5 — «чувства»). И число 125 читалось как «чувства-глаза-луна». Другая была более строгой: в ней существовали специальные слова для всех разрядов вплоть до 1016, и, скажем, число 1936 читалось по-древнеиндийски «одна тысяча девять сотен три десятка шесть». Легко видеть, что здесь встретились два принципа: принцип «мультипликативности», т. е. представление, скажем, 900 как 9x100, 30 — как 3x10 и т. д., и собственно «позиционный» — принцип линейного расположения цифр, соответствующих последовательным разрядам: 5-2-1 (или, что то же самое, 1-2-5). Наша система нумерации своего рода гибрид двух принципов. Почему же она, несмотря на меньшую наглядность, вытеснила все прочие системы и единовластно воцарилась в математической теории и практике? Как пишет советский историк математики В. И. Лебедев, «причина довольно простая. Нумерации: словесная, азбучная, римская, клинообразная и т. д. — являются пригодными только для записывания результата исчисления ; наша система способствует с удивительной силой самому выполнению счета. Попробуйте перемножить. DCXXXII х CCLXXIV — римские обозначения помогут мало»… Проще с алфавитными системами, но они тоже не слишком удобны. Чтобы перемножить, скажем, 13x18, в алфавитных системах (византийской, славянской) считали так: 13 х 18 = (10 + 3) х (10 + 8) = = 10 (10 + 8) + 3 (10 + 8) = = 100 + 80 + 30 + 24 = 234. Подумайте, сколько вычислений пришлось бы делать, для того чтобы помножить 132 на 186! Причем все промежуточные операции, такие, как З х 10 или сложение 100 + 80 и т. д., делались в уме, без «бумажки». Учитывая, что еще в XVI в. теорема Пифагора, например, называлась «ослиным мостом» и воспринималась как верх математической сложности, легко себе представить, как мучились наши бедные предки с подобными вычислениями! Мы не будем углубляться далее в историю. Обратим внимание лишь на одну важную особенность. Раньше люди не считали с помощью цифр. Они лишь записывали числа с их помощью. А считали или при посредстве каких-то предметов, сгруппированных в «кучки» известного размера (пальцы, камешки, косточки счетов), или при помощи языка, который, в сущности, копировал счет по пальцам или по другим предметам. Н. И. Миклухо-Маклай описывает способ счета у папуасов так: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе, бе, бе»… Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе»… пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе»… пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). В очень многих языках обозначение чисел как раз восходит к подобной манере счета. Скажем, на языке негров зулу «8» буквально значит «согни два пальца», «9» — «согни один палец» (если считать одной правой рукой и начиная с 6 по одному разгибать пальцы). Так вот. Счет развивается, как правило, от предметов к обозначающим их словам и затем к обозначающим слова знакам — цифрам. Язык позволяет удобно считать предметы, но при его помощи затруднительно вычислять — складывать, вычитать, а тем более умножать и делить. Для этого цифры несравненно удобнее. — 59 —
|