|
Грамматически правильные предложения, таким образом, с логической точки зрения, могут быть истинными и ложными: 1) с — предикат; 2) всякое выражение 1-го класса — аргумент предиката; 3) всякое выражение 2-го и 3-го класса — предложение; 4) всякое выражение 3-го класса — истинное; 5) если выражение не принадлежит 3-му классу, то оно ложное. 3. Арифметическая интерпретация. Интерпретируем эту систему как класс натуральных чисел: а есть 0 (ноль); b есть 1; с есть "=" (как и в логической интерпретации). Тогда abb = 011; ab — 01; а — 0 и т.д. Семантика включает в себя правила интерпретации, которые, естественно, задаются отдельно от правил построения. В этом контексте очень интересным является пример великого немецкого математика Г. Кантора. Если у нас есть ряд натуральных чисел, то мы ему в соответствие можем поставить ряд четных чисел. Ряды будут равны, хотя 2-й ряд ?1-му ряду, т.е. оказывается, что часть равна целому; 1 2 3 4 5 6 7 ... 2 4 6 8 10 12 14 … Для каждого натурального числа существует четное число, которое может быть поставлено ему в соответствие. Оба класса оказываются равными при условии, что они бесконечны. Таким образом, истинность — ложность в математике есть вопрос вывода, а не реальности. Мы можем построить алгебру (например, Булева алгебра), где а + а =а (закон идемпотентности). Истинность — ложность выражения определяется только правилами (интерпретацией) и больше ничем. Вопрос интерпретации связан с тем, что мы хотим получить. Интерпретация должна быть задана эксплицитно с помощью строгих правил дедукции. Прагматический аспект в нашем примере заключается в выборе интерпретации. Семиотическая система нужна для познания реальной действительности, а не сама по себе. Выбор интерпретации зависит от наших целей (и этот выбор есть прагматический уровень системы). Правила образования (т.е. синтаксические правила) первичны. Если задан синтаксис семиотической системы, уже задана система. Синтаксис — скелет системы. Любая знаковая система отличается от математической системы тем, что в первой нет аксиом, а во второй есть аксиома. — 276 —
|